Sejam as funções z=x^2 y+cos y, com x=cos t e y=2 t. Use a regra da cadeia para encontrar d zd t em termos de t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ z = x^{2} y + \cos y $, onde $ x = \cos t $ e $ y = 2t $. Nosso objetivo é encontrar a derivada de $ z $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dz}{dt} $, usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como as funções estão interligadas e aplicar a derivada adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $. Isso significa que, para derivar $ z $ em relação a $ t $, precisamos usar a regra da cadeia multivariada. A regra diz que:
z

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $:
z
Isso porque a derivada de $ x^2 y $ em relação a $ x $ é $ 2x y $ e a derivada de $ \cos y $ em relação a $ x $ é zero.
  1. Derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $:
x
Aqui, derivamos $ x^2 y $ em relação a $ y $ e obtemos $ x^2 $, e a derivada de $ \cos y $ em relação a $ y $ é $ -\sin y $.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
  1. Derivada de $ x $ em relação a $ t $:
x
  1. Derivada de $ y $ em relação a $ t $:
y

Passo 5

Vamos substituir todas as derivadas que encontramos na fórmula da regra da cadeia:
dzdt = (2x y) cdot (-sin t) + (x^2 - sin y) cdot 2

Passo 6

Como $ x = \cos t $ e $ y = 2t $, vamos substituir esses valores na expressão:
x = cos t

Passo 7

Vamos simplificar as expressões:
  1. $ 2 \cos t \cdot 2t = 4t \cos t $
  2. Então, $ 4t \cos t \cdot (-\sin t) = -4t \cos t \sin t $
  3. $ \cos^{2} t - \sin (2t) $ permanece como está.
  4. Multiplicando por 2: $ 2 (\cos^{2} t - \sin 2t) = 2 \cos^{2} t - 2 \sin 2t $
Assim, a expressão fica:
2 cos t cdot 2t = 4t cos t

Resposta

Portanto, a derivada de $ z $ em relação a $ t $ é:
z

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