Sejam as funções
,
e
. Use a regra da cadeia para encontrar
em termos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ z = x^{2} y + \cos y $, onde $ x = \cos t $ e $ y = 2t $. Nosso objetivo é encontrar a derivada de $ z $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dz}{dt} $, usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como as funções estão interligadas e aplicar a derivada adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $. Isso significa que, para derivar $ z $ em relação a $ t $, precisamos usar a regra da cadeia multivariada. A regra diz que:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
- Derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $:
Isso porque a derivada de $ x^2 y $ em relação a $ x $ é $ 2x y $ e a derivada de $ \cos y $ em relação a $ x $ é zero.
- Derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $:
Aqui, derivamos $ x^2 y $ em relação a $ y $ e obtemos $ x^2 $, e a derivada de $ \cos y $ em relação a $ y $ é $ -\sin y $.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
- Derivada de $ x $ em relação a $ t $:
- Derivada de $ y $ em relação a $ t $:
Passo 5
Vamos substituir todas as derivadas que encontramos na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
Como $ x = \cos t $ e $ y = 2t $, vamos substituir esses valores na expressão:
Passo 7
Vamos simplificar as expressões:
- $ 2 \cos t \cdot 2t = 4t \cos t $
- Então, $ 4t \cos t \cdot (-\sin t) = -4t \cos t \sin t $
- $ \cos^{2} t - \sin (2t) $ permanece como está.
- Multiplicando por 2: $ 2 (\cos^{2} t - \sin 2t) = 2 \cos^{2} t - 2 \sin 2t $
Assim, a expressão fica:
Resposta
Portanto, a derivada de $ z $ em relação a $ t $ é: