Seja
um aberto conexo por caminhos.
(a) Se
é uma função definida em
tal que para todo
tem-se
, então
é constante em
.
(a) Se
Passo 1
O enunciado diz que
é aberto e conexo por caminhos e que temos uma função
tal que
para todo
. O conteúdo principal aqui é gradiente, derivada direcional e conectividade por caminhos. Vamos usar a regra da cadeia e propriedades de derivada direcional.
Passo 2
Como
, para qualquer vetor
a derivada direcional de
na direção
em
é
Ou seja, em qualquer direção, a derivada é zero.
Passo 3
Como
é conexo por caminhos, dados dois pontos
existe uma curva diferenciável
com
e
. Definimos
. Pela regra da cadeia:
Logo
em
, o que implica que
é constante e
, ou seja
.
Passo 4
Como
e
eram pontos quaisquer de
, concluímos que
tem o mesmo valor em todo
. Portanto,
é constante em
.
Resposta
f é constante em
.