Seja A subset R^n um aberto conexo por caminhos.
(a) Se f: A R é uma função definida em A tal que para todo X in A tem-se nabla f(X)=0, então f é constante em A.

Passo 1

O enunciado diz que AsubsetR^n é aberto e conexo por caminhos e que temos uma função fcolon AtoR tal que nabla f(X)=0 para todo Xin A. O conteúdo principal aqui é gradiente, derivada direcional e conectividade por caminhos. Vamos usar a regra da cadeia e propriedades de derivada direcional.

Passo 2

Como nabla f(X)=0, para qualquer vetor vinR^n a derivada direcional de f na direção v em X é
Dv f(X)=nabla f(X)cdot v=0
Ou seja, em qualquer direção, a derivada é zero.

Passo 3

Como A é conexo por caminhos, dados dois pontos X,Yin A existe uma curva diferenciável gamma:[0,1]to A com gamma(0)=X e gamma(1)=Y. Definimos g(t)=f(gamma(t)). Pela regra da cadeia:
g'(t)=nabla f(gamma(t))cdot gamma'(t)=0
Logo g'(t)=0 em [0,1], o que implica que g é constante e g(1)=g(0), ou seja f(Y)=f(X).

Passo 4

Como X e Y eram pontos quaisquer de A, concluímos que f tem o mesmo valor em todo A. Portanto, f é constante em A.

Resposta

f é constante em A.

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