Exercício 5. Calcule as integrais
integral-infty^infty e^-x^2 / 2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria de Gauss integral-infty^infty e^-x^2/2,dx. Este tema envolve integrais impróprias e o método de avaliação usando coordenadas polares.

Passo 2

Definimos I = integral-infty^infty e^-x^2/2,dx. Nosso objetivo é encontrar o valor de I.

Passo 3

Para lidar com os limites infinitos, consideramos o quadrado da integral:
I^2 = l(integral-infty^infty e^-x^2/2,dxr)l(integral-infty^infty e^-y^2/2,dyr) = integral duplaR^2 e^-(x^2+y^2)/2,dx,dy
Isso nos permite usar coordenadas polares.

Passo 4

Fazemos a mudança para coordenadas polares: x = rcostheta, y = rsintheta, e o elemento de área vira dx,dy = r,dr,dtheta. Os limites são rin[0,infty) e thetain[0,2pi].

Passo 5

Substituindo na integral dupla, obtemos
I^2 = integral0^2piintegral0^infty e^-r^2/2,r,dr,dtheta
Integramos primeiro em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 6

Agora cuidamos da parte radial:
integral0^infty e^-r^2/2r,dr
Fazemos a substituição u = r^2/2, logo du = r,dr e os limites vão de u=0 até utoinfty. A integral fica
integral0^infty e^-udu = 1

Passo 7

Juntando os resultados:
I^2 = 2pi times 1 = 2pi Como I é positivo (função inteira não negativa), concluímos I=raiz2pi.

Resposta

raiz2pi

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