Exercício 5. Calcule as integrais
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria de Gauss
. Este tema envolve integrais impróprias e o método de avaliação usando coordenadas polares.
Passo 2
Definimos
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
.
Passo 3
Para lidar com os limites infinitos, consideramos o quadrado da integral:
Isso nos permite usar coordenadas polares.
Passo 4
Fazemos a mudança para coordenadas polares:
,
, e o elemento de área vira
. Os limites são
e
.
Passo 5
Substituindo na integral dupla, obtemos
Integramos primeiro em
Passo 6
Agora cuidamos da parte radial:
Fazemos a substituição
Passo 7
Juntando os resultados: