Utilize a integral dupla para determinar a área das regiões D dadas abaixo.
D é a região limitada pelas curvas y=x^3 e y=4 x restrita ao primeiro quadrante;

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a área da região D no primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x^3 e y=4x. O conteúdo é área via integral dupla e vamos precisar achar os pontos de interseção e entender qual curva fica em cima de qual.

Passo 2

Para achar onde as duas curvas se encontram, resolvemos
x^3 = 4x
que leva a
x(x^2-4)=0 ;Rightarrow; x=0,,x=2,,-2
No primeiro quadrante só fazem sentido x=0 e x=2.

Passo 3

Agora precisamos ver qual curva é a “superior” (maior y) entre x=0 e x=2. Para um x qualquer nesse intervalo temos
x^3 <= 4x
portanto y=x^3 é a curva de baixo e y=4x a de cima.

Passo 4

Montamos a integral dupla para a área como
A = integral duplaD 1,dA = integralx=0^2 gl(integraly=x^3^4x dygr) dx

Passo 5

Calculamos a integral interna e depois a externa:
A = integral0^2 (4x - x^3),dx = integral0^24x,dx - integral0^2x^3,dx
integral0^24x,dx = 2x^2 |0^2 = 8,
integral0^2x^3,dx = x^44 |0^2 = 164 = 4,
logo
A = 8 - 4 = 4

Resposta

4

Exercícios relacionados