Utilize a integral dupla para determinar a área das regiões D dadas abaixo.
D é a região limitada pelas curvas y=6 x-x^2 e y=x restrita ao primeiro quadrante;

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer achar a área da região D no primeiro quadrante, limitada pelas curvas y = 6x – x² e y = x. O conteúdo aqui é cálculo de área via integral dupla, então vamos precisar encontrar os pontos de intersecção das curvas para definir os limites de integração.

Passo 2

Determinar interseções: igualando y = x e y = 6x – x² obtemos x = 6x – x² ⇒ x² – 5x = 0 ⇒ x = 0 ou x = 5. No primeiro quadrante, os pontos de interseção são (0,0) e (5,5).

Passo 3

Descrição da região e montagem da integral: pela análise do gráfico, para x variando de 0 a 5 a curva superior é y = 6x – x² e a inferior é y = x. Sabendo que a área de D é $$
A = ,\iint_D dA
$$ podemos escrever em ordem dy dx: $$ A = \int_{x=0}^{5} \int_{y=x}^{6x - x^2} dy,dx. $$

Passo 4

Cálculo da integral: primeiro integramos em y: $$ \int_{y=x}^{6x - x^2} dy = (6x - x^2) - x = 5x - x^2. $$ Logo a área fica $$ A = \int_{0}^{5} (5x - x^2) dx = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{5} = \frac{5\cdot25}{2} - \frac{125}{3} = \frac{125}{6}. $$

Resposta

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