Para cada uma das funções dadas abaixo,
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva
tem retas assíntotas verticais.
(b) Calcule
e determine os intervalos em que
é crescente e aqueles em que
é decrescente;
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de
, bem como os valores de
nesses pontos;
(d) Calcule
e determine os intervalos em que a curva
é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(e) Determine os pontos de inflexão da curva
;
(f) Calcule as raízes de
(soluções da equação
), quando isto não for difícil;
(g) Verifique se a curva
tem retas assíntotas horizontais ou inclinadas.
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
.
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde
é contínua, mas
não é definida).
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva
(b) Calcule
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de
(d) Calcule
(e) Determine os pontos de inflexão da curva
(f) Calcule as raízes de
(g) Verifique se a curva
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
incluindo domínio, derivadas, monotonia, extremos, concavidade, pontos de inflexão, raízes, assíntotas e esboço do gráfico.
Passo 2
Para achar o domínio, lembramos que a raiz cúbica de qualquer número real está definida em todo
. Logo
Não há valor de
onde
em ponto finito, portanto não há assíntotas verticais.
Passo 3
Usando a regra da cadeia,
O numerador
e o denominador
(é zero só em
, onde a derivada fica indefinida). Assim
para todo
e
. Concluímos que
é estritamente decrescente em cada intervalo
,
e
.
Passo 4
Para haver máximo ou mínimo local precisamos de mudança de sinal de
. Observamos:
- Em
, passa de negativo para negativo (fica zero apenas no ponto), logo nenhum extremo. - Em
, nem existe (tangente vertical) mas a função continua decrescente de ambos os lados, logo nenhum extremo aí também.
Passo 5
Diferenciando novamente,
O sinal de
satisfaz:
- Para
: e , então (côncava para cima). - Para
: e , então (côncava para baixo). - Para
: e , então (côncava para cima).
Passo 6
Inflection points ocorrem onde a concavidade muda e
é contínua:
- Em
, muda de positivo para negativo, logo ponto de inflexão em . - Em
, a concavidade muda de negativo para positivo e é contínua ( ), logo outro ponto de inflexão em . Aqui a tangente é vertical.
Passo 7
Para as raízes, resolvemos
Passo 8
Para assíntotas horizontais ou inclinadas analisamos o comportamento em
.
Calculamos
Logo há uma assíntota oblíqua
e nenhuma assíntota horizontal.
Passo 9
Esboço e pontos especiais:
- Monotonia: decrescente em todo
. - Tangente horizontal em
( ). - Tangente vertical em
( indefinida, ). - Concavidade: para cima em
, para baixo em . - Inflection points:
e . - Assíntota oblíqua:
.
O esboço mostra uma curva que vem dequando , passa por com tangente horizontal, cruza o eixo em com tangente vertical, e depois se aproxima de .
Resposta
Domínio:
. Sem assíntotas verticais.
, decrescente em
,
,
.
Sem máximo ou mínimo local.
, côncava para cima em
, para baixo em
.
Pontos de inflexão: e
.
Raiz: .
Assíntota oblíqua: .
Tangente horizontal em , vertical em
.
Sem máximo ou mínimo local.
Pontos de inflexão:
Raiz:
Assíntota oblíqua:
Tangente horizontal em