Para cada uma das funções dadas abaixo,
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva y=f(x) tem retas assíntotas verticais.
(b) Calcule f^prime(x) e determine os intervalos em que f é crescente e aqueles em que f é decrescente;
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de f(x) nesses pontos;
(d) Calcule f^prime prime(x) e determine os intervalos em que a curva y=f(x) é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(e) Determine os pontos de inflexão da curva y=f(x);
(f) Calcule as raízes de f (soluções da equação f(x)=0 ), quando isto não for difícil;
(g) Verifique se a curva y=f(x) tem retas assíntotas horizontais ou inclinadas.
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de f.
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde f é contínua, mas f^prime não é definida).
f(x)=raiz[3]1-x^3

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
f(x) = raiz[3],1 - x^3, = (1 - x^3)^1/3
incluindo domínio, derivadas, monotonia, extremos, concavidade, pontos de inflexão, raízes, assíntotas e esboço do gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que a raiz cúbica de qualquer número real está definida em todo R. Logo
Dom(f) = (-infty,infty)
Não há valor de x onde f(x)topminfty em ponto finito, portanto não há assíntotas verticais.

Passo 3

Usando a regra da cadeia,
f'(x) = 13(1 - x^3)^-2/3cdot(-3x^2) = -,x^2,(1 - x^3)^-2/3
O numerador -x^2<=0 e o denominador (1-x^3)^2/3>=0 (é zero só em x=1, onde a derivada fica indefinida). Assim f'(x)<0 para todo xneq0 e f'(0)=0. Concluímos que f é estritamente decrescente em cada intervalo (-infty,0), (0,1) e (1,infty).

Passo 4

Para haver máximo ou mínimo local precisamos de mudança de sinal de f'. Observamos:
  • Em x=0, f'(x) passa de negativo para negativo (fica zero apenas no ponto), logo nenhum extremo.
  • Em x=1, f' nem existe (tangente vertical) mas a função continua decrescente de ambos os lados, logo nenhum extremo aí também.

Passo 5

Diferenciando novamente,
f''(x) = ddxl[-x^2(1 - x^3)^-2/3r] = -2x,(1 - x^3)^-5/3
O sinal de f'' satisfaz:
  • Para x<0: -2x>0 e (1-x^3)^-5/3>0, então f''(x)>0 (côncava para cima).
  • Para 0<x<1: -2x<0 e (1-x^3)^-5/3>0, então f''(x)<0 (côncava para baixo).
  • Para x>1: -2x<0 e (1-x^3)^-5/3<0, então f''(x)>0 (côncava para cima).

Passo 6

Inflection points ocorrem onde a concavidade muda e f é contínua:
  • Em x=0, f'' muda de positivo para negativo, logo ponto de inflexão em l(0,f(0)r)=(0,1).
  • Em x=1, a concavidade muda de negativo para positivo e f é contínua ( f(1)=0), logo outro ponto de inflexão em l(1,0r). Aqui a tangente é vertical.

Passo 7

Para as raízes, resolvemos
(1 - x^3)^1/3=0 Longrightarrow 1 - x^3 = 0 Longrightarrow x=1

Passo 8

Para assíntotas horizontais ou inclinadas analisamos o comportamento em pminfty.
f(x) = (1 - x^3)^1/3 = -,xl(1 - 1/x^3r)^1/3 approx -,x + o(1)
Calculamos
m = limxtoinftyf(x)x = -1, b = limxtoinftyl[f(x) - (-1)xr] = 0
Logo há uma assíntota oblíqua
y = -,x
e nenhuma assíntota horizontal.

Passo 9

Esboço e pontos especiais:
  • Monotonia: decrescente em todo R.
  • Tangente horizontal em x=0 ( f'(0)=0).
  • Tangente vertical em x=1 ( f' indefinida, f(1)=0).
  • Concavidade: para cima em (-infty,0)cup(1,infty), para baixo em (0,1).
  • Inflection points: (0,1) e (1,0).
  • Assíntota oblíqua: y=-x.
    O esboço mostra uma curva que vem de +infty quando xto-infty, passa por (0,1) com tangente horizontal, cruza o eixo em (1,0) com tangente vertical, e depois se aproxima de y=-x.

Resposta

Domínio: R. Sem assíntotas verticais.
f'(x) = -,x^2,(1 - x^3)^-2/3, decrescente em (-infty,0), (0,1), (1,infty).
Sem máximo ou mínimo local.
f''(x) = -2x,(1 - x^3)^-5/3, côncava para cima em (-infty,0)cup(1,infty), para baixo em (0,1).
Pontos de inflexão: (0,1) e (1,0).
Raiz: x=1.
Assíntota oblíqua: y=-x.
Tangente horizontal em x=0, vertical em x=1.

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