Exercício: Calcule as integrais
integral0^2 x^2 raiz3 x+2 d x

Passo 1

A integral dada é integral0^2 x^2 raiz3x+2,dx. O conteúdo principal é usar substituição para transformar o radical raiz3x+2 em uma potência de u e depois integrar uma soma de potências. Para isso, vamos precisar identificar a substituição adequada, reescrever x e dx em função de u, expandir o integrando e integrar termo a termo.

Passo 2

Vamos definir a substituição u = 3x + 2. Então
du = 3,dx Longrightarrow dx = du3
Também temos x = u - 23, de modo que
x^2 = l(u - 23r)^2 = (u - 2)^29

Passo 3

Substituindo na integral e ajustando os limites: quando x=0, u=2; quando x=2, u=8. Assim,
integral0^2 x^2 raiz3x+2,dx = integralu=2^u=8 (u-2)^29 cdot raizu cdot du3 = 127 integral2^8 (u-2)^2 ,u^1/2,du

Passo 4

Expandindo o integrando:
(u-2)^2 ,u^1/2 = (u^2 -4u +4),u^1/2 = u^5/2 -4u^3/2 +4u^1/2
Assim a integral fica
127 integral2^8 l(u^5/2 -4u^3/2 +4u^1/2r) du
Agora integramos termo a termo, lembrando que
integral u^n du = u^n+1n+1

Passo 5

Calculando a primitiva e avaliando entre u=2 e u=8:
F(u) = 127 l[ u^7/27/2 -4u^5/25/2 +4u^3/23/2 r] = 127 l[ 27u^7/2 - 85u^5/2 + 83u^3/2 r]
Substituindo u=8 e u=2, obtemos após simplificação o valor
integral0^2 x^2 raiz3x+2,dx = 13568raiz22835

Resposta

13568raiz22835

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