Demonstre a fórmula de Heron: S=raizp(p-a)(p-b)(p-c) para a área do triângulo de lados a, b, e c.

Passo 1

Temos um triângulo com lados a, b e c. Queremos demonstrar que sua área é dada por S=raizp(p-a)(p-b)(p-c), onde definimos o semiperímetro

Vamos usar a fórmula da área em função de base e altura e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Sejam c a base do triângulo e h a altura relativa a essa base. Então a área é
S = ccdot h2

Passo 3

Desenhando a altura h a partir do vértice oposto a c, ela divide a base em dois segmentos de comprimentos x e c-x. Pelos triângulos retângulos formados, aplicamos o Teorema de Pitágoras:
h^2 + x^2 = a^2
h^2 + (c-x)^2 = b^2

Passo 4

Subtraindo as duas equações, eliminamos h^2 e isolamos x:
a^2 - b^2 = x^2 - (c-x)^2 = (2x-c),c
Logo,
2x - c = a^2 - b^2c,
x = a^2 - b^2 + c^22c

Passo 5

Voltando ao Teorema de Pitágoras, temos h^2 = a^2 - x^2. Então
S^2 = c^2 h^24 = c^24l(a^2 - x^2r)
Substituindo o valor de x e realizando as operações algébricas, chega-se a
S^2 = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)16

Passo 6

Observando que
p=a+b+c2, p-a=-a+b+c2, p-b=a-b+c2, p-c=a+b-c2
resulta em
S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)
Portanto, tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos
S = raizp(p-a)(p-b)(p-c)

Resposta

S = raizp(p-a)(p-b)(p-c)

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