Demonstre a fórmula de Heron:
para a área do triângulo de lados
, e
.
Passo 1
Temos um triângulo com lados
,
e
. Queremos demonstrar que sua área é dada por
, onde definimos o semiperímetro
Vamos usar a fórmula da área em função de base e altura e o Teorema de Pitágoras.
Vamos usar a fórmula da área em função de base e altura e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Sejam
a base do triângulo e
a altura relativa a essa base. Então a área é
Passo 3
Desenhando a altura
a partir do vértice oposto a
, ela divide a base em dois segmentos de comprimentos
e
. Pelos triângulos retângulos formados, aplicamos o Teorema de Pitágoras:
Passo 4
Subtraindo as duas equações, eliminamos
e isolamos
:
Logo,
Passo 5
Voltando ao Teorema de Pitágoras, temos
. Então
Substituindo o valor de
e realizando as operações algébricas, chega-se a
Passo 6
Observando que
resulta em
Portanto, tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos