Um quadrilátero convexo Q tem área S. Determine a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados de Q.

Passo 1

O enunciado diz: temos um quadrilátero convexo de área S e queremos a área do quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados. Isso é o problema de Varignon, que cai em geometria vetorial e áreas usando determinantes.

Passo 2

Vamos chamar o quadrilátero original de ABCD e definir os pontos médios de cada lado: E é o ponto médio de AB, F de BC, G de CD e H de DA.
Em coordenadas vetoriais, se A, B, C, D são vetores posição, então
E=A+B2, F=B+C2, G=C+D2, H=D+A2

Passo 3

Os vértices E, F, G, H formam um paralelogramo (teorema de Varignon). Para ver isso, observe que
F - E = B+C2 - A+B2 = C - A2,
G - H = C+D2 - D+A2 = C - A2,ou seja, EF é paralelo e igual a HG. De modo análogo vemos que EH = FG, confirmando que EFGH é paralelogramo.

Passo 4

A área de EFGH é o módulo do produto vetorial de dois lados adjacentes:
área(EFGH) = llvert (F-E) times (H-E) rrvertá
Como
F - E = C - A2, H - E = D - B2,temos
área(EFGH) = llvert C - A2 times D - B2 rrvert = 14 lvert (C - A) times (D - B) rvertá

Passo 5

Por outro lado, a área do quadrilátero ABCD pode ser escrita como soma das áreas dos triângulos ABC e ADC, e em forma vetorial isso dá
S = 12 lvert (B - A) times (C - A) rvert + 12 lvert (D - A) times (C - A) rvert = 12 lvert (D - B) times (C - A) rvert
Comparando as duas expressões, vemos que
área(EFGH) = 14 lvert (C - A) times (D - B) rvert = 12 Sá

Resposta

dfracS2

Exercícios relacionados