Um quadrilátero convexo
tem área
. Determine a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados de
.
Passo 1
O enunciado diz: temos um quadrilátero convexo de área S e queremos a área do quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados. Isso é o problema de Varignon, que cai em geometria vetorial e áreas usando determinantes.
Passo 2
Vamos chamar o quadrilátero original de ABCD e definir os pontos médios de cada lado: E é o ponto médio de AB, F de BC, G de CD e H de DA.
Em coordenadas vetoriais, se A, B, C, D são vetores posição, então
Em coordenadas vetoriais, se A, B, C, D são vetores posição, então
Passo 3
Os vértices E, F, G, H formam um paralelogramo (teorema de Varignon). Para ver isso, observe que
Passo 4
A área de EFGH é o módulo do produto vetorial de dois lados adjacentes:
Como
Passo 5
Por outro lado, a área do quadrilátero ABCD pode ser escrita como soma das áreas dos triângulos ABC e ADC, e em forma vetorial isso dá
Comparando as duas expressões, vemos que