Verifique se
é uma família de soluções da EDO de segunda ordem
e, em caso positivo, encontre uma solução do PVI dado pelas condições iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a família candidata e pede duas coisas:
- Verificar se a família
satisfaz a equação
- Se for solução, determinar a solução do problema de valor inicial (PVI) com as condições
e .
Informações relevantes fornecidas:
- Família proposta:
. - Equação diferencial:
. - Condições iniciais do PVI:
e .
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de
. Lembrete rápido: a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
, de constante é
.
A função é
Derivando uma vez:
Aplicando as regras:
Derivando de novo:
Logo:
Passo 3
Agora substituímos
,
e
no membro da esquerda da EDO, que é
.
Substituindo:
Agora vamos agrupar os termos semelhantes (os que têm
, os que têm
, os constantes e o termo em
).
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Termos constantes (sem
nem exponenciais):
Sobra apenas o termo em
vindo de
, isto é
. Portanto
Passo 4
Como, para quaisquer constantes
e
, a combinação
satisfaz exatamente
concluímos que a família dada é, de fato, uma família de soluções da EDO. Os parâmetros
são as duas constantes de integração típicas de uma EDO linear de segunda ordem.
Passo 5
Agora impomos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro calcule
:
A condição
dá:
Agora
. Usamos a expressão encontrada:
logo
A condição
dá:
Temos o sistema linear
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Então
Passo 6
Substituindo
e
na família, obtemos a solução do PVI:
É sempre uma boa checagem rápida:
e
conferindo as condições iniciais.
Resposta
Sim.