Verifique se y(x)=c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{-3 x}+x-\frac{4}{3} é uma família de soluções da EDO de segunda ordem
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=3 x
e, em caso positivo, encontre uma solução do PVI dado pelas condições iniciais y(0)=\frac{2}{3} e y^{\prime}(0)=7.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a família candidata e pede duas coisas:
  • Verificar se a família y(x)=c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{-3 x}+x-\dfrac{4}{3} satisfaz a equação
y^{\prime \prime}+4y^{\prime}+3y=3x.
  • Se for solução, determinar a solução do problema de valor inicial (PVI) com as condições y(0)=\dfrac{2}{3} e y^{\prime}(0)=7.
Informações relevantes fornecidas:
  • Família proposta: y(x)=c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{-3 x}+x-\dfrac{4}{3}.
  • Equação diferencial: y^{\prime \prime}+4y^{\prime}+3y=3x.
  • Condições iniciais do PVI: y(0)=\dfrac{2}{3} e y^{\prime}(0)=7.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de y(x). Lembrete rápido: a derivada de e^{ax} em relação a x é a e^{ax}, e a derivada de x é 1, de constante é 0.
A função é
y(x)=c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{-3x}+x-\frac{4}{3}.
Derivando uma vez:
y^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\big(c_{1} e^{-x}\big)+\frac{d}{dx}\big(c_{2} e^{-3x}\big)+\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}\!\left(\frac{4}{3}\right).
Aplicando as regras:
y^{\prime}(x) = -c_{1} e^{-x} -3c_{2} e^{-3x} + 1.
Derivando de novo:
y^{\prime\prime}(x)=\frac{d}{dx}\big(-c_{1} e^{-x}\big)+\frac{d}{dx}\big(-3c_{2} e^{-3x}\big)+\frac{d}{dx}(1).
Logo:
y^{\prime\prime}(x)=c_{1} e^{-x} +9c_{2} e^{-3x}.

Passo 3

Agora substituímos y, y' e y'' no membro da esquerda da EDO, que é y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+3y.
Substituindo:
\begin{aligned} y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+3y &= \big(c_{1} e^{-x} +9c_{2} e^{-3x}\big) \\\ &\quad +4\big(-c_{1} e^{-x} -3c_{2} e^{-3x} +1\big) \\\ &\quad +3\big(c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{-3x}+x-\tfrac{4}{3}\big). \end{aligned}
Agora vamos agrupar os termos semelhantes (os que têm e^{-x}, os que têm e^{-3x}, os constantes e o termo em x).
Coeficiente de e^{-x}:
c_{1}\big(1 +4(-1) +3\big)=c_{1}(1-4+3)=c_{1}\cdot 0=0.
Coeficiente de e^{-3x}:
c_{2}\big(9 +4(-3) +3\big)=c_{2}(9-12+3)=c_{2}\cdot 0=0.
Termos constantes (sem x nem exponenciais):
4\cdot 1 +3\cdot\left(-\tfrac{4}{3}\right)=4-4=0.
Sobra apenas o termo em x vindo de 3\cdot x, isto é 3x. Portanto
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+3y = 3x.

Passo 4

Como, para quaisquer constantes c_{1} e c_{2}, a combinação y(x)=c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{-3x}+x-\dfrac{4}{3} satisfaz exatamente
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+3y=3x,
concluímos que a família dada é, de fato, uma família de soluções da EDO. Os parâmetros c_{1},c_{2} são as duas constantes de integração típicas de uma EDO linear de segunda ordem.

Passo 5

Agora impomos as condições iniciais para encontrar os valores de c_{1} e c_{2}.
Primeiro calcule y(0):
y(0)=c_{1} e^{0}+c_{2} e^{0}+0-\frac{4}{3}=c_{1}+c_{2}-\frac{4}{3}.
A condição y(0)=\dfrac{2}{3} dá:
c_{1}+c_{2}-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad c_{1}+c_{2}=2.
Agora y^{\prime}(0). Usamos a expressão encontrada:
y^{\prime}(x)=-c_{1} e^{-x}-3c_{2} e^{-3x}+1,
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y^{\prime}(0)=-c_{1}-3c_{2}+1.
A condição y^{\prime}(0)=7 dá:
-c_{1}-3c_{2}+1=7\quad\Rightarrow\quad -c_{1}-3c_{2}=6\quad\Rightarrow\quad c_{1}+3c_{2}=-6.
Temos o sistema linear
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=2,\\[4pt] c_{1}+3c_{2}=-6. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(c_{1}+3c_{2})-(c_{1}+c_{2}) = -6-2 \quad\Rightarrow\quad 2c_{2}=-8 \quad\Rightarrow\quad c_{2}=-4.
Então
c_{1}=2-c_{2}=2-(-4)=6.]

Passo 6

Substituindo c_{1}=6 e c_{2}=-4 na família, obtemos a solução do PVI:
y(x)=6e^{-x}-4e^{-3x}+x-\frac{4}{3}.
É sempre uma boa checagem rápida: y(0)=6-4+0-\tfrac{4}{3}=2-\tfrac{4}{3}=\tfrac{2}{3} e
y^{\prime}(x)=-6e^{-x}+12e^{-3x}+1\implies y^{\prime}(0)=-6+12+1=7,
conferindo as condições iniciais.

Resposta

Sim.
y(x)=6e^{-x}-4e^{-3x}+x-\dfrac{4}{3}

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