Exercício 2.1.1. Calcule as integrais, utilizando o método da substituição trigonométrica:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Id = integral dxraizx^2 + 144
usando o método de substituição trigonométrica. Esse tipo de integral aparece sempre que temos raizx^2 + a^2, e a estratégia padrão é usar a substituição
x = atantheta,
pois aí raizx^2+a^2 vira asectheta.

Passo 2

Fazendo a escolha x = 12tantheta, temos
dx = 12sec^2theta,dtheta
e
raizx^2+144 = raiz144tan^2theta + 144 = 12sectheta
Substituindo na integral original, obtemos
Id = integral 12sec^2theta,dtheta12sectheta = integral sectheta,dtheta

Passo 3

Agora precisamos integrar integral sectheta,dtheta. A primitiva conhecida é
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 4

Voltemos à variável x. Da substituição x=12tantheta temos tantheta = x12. Também
sectheta = raiz1+tan^2theta = raiz1 + x^2144 = raizx^2+14412
Logo
sectheta + tantheta = raizx^2+14412 + x12 = x + raizx^2+14412
Substituindo na primitiva e absorvendo ln 12 em C, chega-se a
Id = lnl|x + raizx^2+144r| + C

Resposta

Id = lnl|x + raizx^2+144r| + C

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