Exercício 2.1.1. Calcule as integrais, utilizando o método da substituição trigonométrica:
Ia=integral raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
Ia = integral raiz1 - x^2,dx
usando o método de substituição trigonométrica. Vamos usar a relação que transforma raiz1 - x^2 em função de um ângulo.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = sintheta, dx = costheta,dtheta, raiz1 - x^2 = raiz1 - sin^2theta = costheta
(adotando costheta>=0 no intervalo apropriado).

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
Ia = integral raiz1 - x^2,dx = integral (costheta),(costheta,dtheta) = integral cos^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade de redução
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2,
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Ia = integral 1 + cos(2theta)2,dtheta = 12integral dtheta + 12integral cos(2theta),dtheta

Passo 5

Integramos cada termo:
integral dtheta = theta, integral cos(2theta),dtheta = sin(2theta)2
Portanto
Ia = theta2 + sin(2theta)4 + C

Passo 6

Voltando a x:
theta = arcsin x, sin(2theta) = 2sinthetacostheta = 2xraiz1 - x^2
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sin(2theta)4 = 2xraiz1 - x^24 = xraiz1 - x^22

Resposta

Ia = 12arcsin(x) + xraiz1 - x^22 + C

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