Q 13 Obtenha a equação de uma curva y=f(x), sabendo que o coeficiente angular da reta tangente em um de seus pontos é igual ao simétrico do dobro de sua abscissa e que o ponto (1,1) pertence a curva.

Passo 1

O enunciado pede a curva y=f(x) cuja derivada, que é o coeficiente angular da reta tangente, satisfaz “é igual ao simétrico do dobro de sua abscissa”. Isto significa que em qualquer x temos
dydx = -2x
Além disso, sabemos que o ponto (1,1) pertence à curva, ou seja, f(1)=1. Vamos usar cálculo de integrais para encontrar f(x).

Passo 2

Partindo da equação diferencial
dydx = -2x,
integramos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo fica y e do lado direito a integral de -2x.

Passo 3

Calculemos a integral:
y = integral -2x,dx = -2integral x,dx = -2cdotx^22 + C = -x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Determinar C usando a condição f(1)=1. Substituindo na expressão:
1 = f(1) = -1^2 + C = -1 + C
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C = 1 + 1 = 2

Resposta

A equação da curva é
y = -x^2 + 2

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