Exercício 2.1.1. Calcule as integrais, utilizando o método da substituição trigonométrica:
Ie=integral d xx^2 raiz16-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Ie=integral dxx^2,raiz16 - x^2
usando substituição trigonométrica. O conteúdo principal é dominar a troca
x = 4sintheta
para lidar com raiz16 - x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 4sintheta, dx = 4costheta,dtheta, raiz16 - x^2 = raiz16 - 16sin^2theta = 4costheta
Além disso
x^2 = 16sin^2theta

Passo 3

Substituindo tudo na integral, obtemos
Ie = integral 4costheta,dthetal(16sin^2thetar),l(4costhetar) = integral 4costheta64sin^2theta,costheta,dtheta = integral 116,csc^2theta,dtheta = 116integral csc^2theta,dtheta

Passo 4

Sabendo que
integral csc^2theta,dtheta = -cottheta + C,
segue
Ie = 116l(-cotthetar) + C = -116,cottheta + C

Passo 5

Volta à variável x. Da relação
sintheta = tfracx4
vemos
cottheta = costhetasintheta = raiz1 - sin^2thetasintheta = raiz1 - l(tfracx4r)^2tfracx4 = raiz16 - x^2x
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Ie = -116,raiz16 - x^2x + C = -raiz16 - x^216,x + C

Resposta

Ie = -raiz16 - x^216,x + C

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