Determine o polinômio de Taylor de f(x)=x^5+x^3+x em torno de x0=1.

Passo 1

A questão pede o polinômio de Taylor de
f(x)=x^5+x^3+x
em torno de x0=1.
O conteúdo usado é a fórmula de Taylor para funções suaves, que diz que
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(x0)k!(x-x0)^k
Como f é um polinômio de grau 5, basta ir até k=5 (as derivadas de ordem acima de 5 são zero).

Passo 2

Aplicamos a definição de Taylor em x0=1:
T5(x)=sumk=0^5f^(k)(1)k!(x-1)^k = f(1) + f'(1)(x-1) + f''(1)2!(x-1)^2 + cdots + f^(5)(1)5!(x-1)^5

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de f e avaliamos em x=1:
Primeiro,
f(x)=x^5+x^3+x,
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f(1)=1^5+1^3+1=3
Em seguida,
f'(x)=5x^4+3x^2+1
implies f'(1)=5+3+1=9
Depois,
f''(x)=20x^3+6x
implies f''(1)=20+6=26
Continuando,
f'''(x)=60x^2+6
implies f'''(1)=60+6=66
Para as ordens superiores:
f''''(x)=120x
implies f''''(1)=120,
f'''''(x)=120
implies f'''''(1)=120

Passo 4

Substituindo esses valores em
T5(x)=sumk=0^5f^(k)(1)k!(x-1)^k,
temos:
f(1)0!=3, f'(1)1!=9, f''(1)2!=262=13, f'''(1)3!=666=11,
f''''(1)4!=12024=5, f'''''(1)5!=120120=1
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T5(x)=3 + 9(x-1) + 13(x-1)^2 + 11(x-1)^3 + 5(x-1)^4 + (x-1)^5

Resposta

T5(x)=3 + 9(x-1) + 13(x-1)^2 + 11(x-1)^3 + 5(x-1)^4 + (x-1)^5

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