Exercício 2.1.1. Calcule as integrais, utilizando o método da substituição trigonométrica:
Ii=integral 15 x^4raiz1-x^10 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Ii=integral 15,x^4raiz1 - x^10,dx
usando o método de substituição trigonométrica. Aqui o conteúdo é integrar uma função da forma integral x^n/raiz1 - x^m,dx, que leva primeiro a uma mudança de variável para simplificar a raiz e depois a uma substituição trigonométrica clássica.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^5
então
du = 5,x^4,dx Longrightarrow x^4,dx = du5
Substituindo na integral, temos
15,x^4,dx = 15cdotdu5=3,du
e a raiz fica
raiz1 - x^10 = raiz1 - (x^5)^2 = raiz1 - u^2

Passo 3

A integral em u é
Ii = integral 15,x^4raiz1 - x^10,dx = integral 3,duraiz1 - u^2 = 3 integral duraiz1 - u^2

Passo 4

Para resolver integral duraiz1 - u^2, usamos a substituição trigonométrica padrão
u = sintheta, du = costheta,dtheta, raiz1 - u^2 = costheta
Assim
duraiz1 - u^2 = costheta,dthetacostheta = dtheta,
e a integral fica
3 integral dtheta = 3,theta + C

Passo 5

Voltando para u, como theta = arcsin(u), obtemos
Ii = 3,arcsin(u) + C = 3,arcsinl(x^5r) + C

Resposta

Ii = 3,arcsinl(x^5r) + C

Exercícios relacionados