Determine a derivada das funções abaixo:
f(x)=3^x sec x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de ,f(x)=3^xsec x.
Estamos trabalhando com derivadas de produto de funções, então vamos usar a regra do produto junto com as derivadas de ,3^x (função exponencial de base diferente de e) e de sec x (função trigonométrica).

Passo 2

A regra do produto diz que, se ,f(x)=u(x),v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Aqui podemos identificar
u(x)=3^x, v(x)=sec x

Passo 3

Precisamos de u'(x). Para a função exponencial de base aneq e, vale
ddxl(a^xr)=a^xln(a)
No nosso caso a=3, logo
u'(x)=ddxl(3^xr)=3^xln(3)

Passo 4

Agora a derivada de v(x)=sec x. Sabemos que
ddxl(sec xr)=sec xtan x
Portanto
v'(x)=sec xtan x

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(x) =u'(x),v(x) +u(x),v'(x) = l(3^xln(3)r)sec x + 3^xl(sec xtan xr)
Podemos fatorar 3^xsec x para simplificar:
f'(x) =3^xsec xl(ln(3)+tan xr)

Resposta

f'(x)=3^xsec xl(ln(3)+tan xr)

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