Exercício 2.1.1. Calcule as integrais, utilizando o método da substituição trigonométrica:
Ig=integral 5 x^21+4 x^6 d x

Passo 1

O enunciado pede
Ig = integral 5x^21 + 4x^6,dx
utilizando substituição trigonométrica. Vamos usar duas substituições em cadeia: primeiro uma substituição algébrica para simplificar x^6, depois a clássica u = tantheta para integrar integral du1 + u^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x^3,
logo
du = 6x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = du6
Também notamos que
1 + 4x^6 = 1 + u^2
Substituindo em Ig, temos
Ig = integral 5,x^21 + 4x^6,dx = integral 51 + u^2;l(x^2,dxr) = integral 51 + u^2;du6 = 56,integral du1 + u^2

Passo 3

Agora usamos a substituição trigonométrica
u = tantheta,
de onde
du = sec^2theta,dtheta, 1 + u^2 = sec^2theta
Assim
integral du1 + u^2 = integral sec^2theta,dthetasec^2theta = integral dtheta = theta + C
Portanto
Ig = 56,theta + C

Passo 4

Voltando às variáveis originais, theta = arctan(u) e u=2x^3. Logo
Ig = 56,arctanl(2x^3r) + C

Resposta

Ig = 56,arctanl(2x^3r) + C

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