Exercício 2.1.1. Calcule as integrais, utilizando o método da substituição trigonométrica:
Ih=integral d xx raizx^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Ih = integral dxxraizx^2+1
usando substituição trigonométrica. O conteúdo é integração de funções com raiz quadrada do tipo raizx^2+a^2, e vamos usar a substituição x=tantheta.

Passo 2

Fazendo x=tantheta, temos
dx = sec^2theta,dtheta, raizx^2+1 = raiztan^2theta+1 = sectheta
Substituindo na integral:
Ih = integral sec^2theta,dthetatantheta;sectheta = integral secthetatantheta,dtheta = integral 1sintheta,dtheta = integral csctheta,dtheta

Passo 3

Agora calculamos
integral csctheta,dtheta = -lnl|csctheta + cotthetar| + C

Passo 4

Volta para x: como tantheta = x,
csctheta = 1sintheta = raiz1+tan^2thetatantheta = raizx^2+1x, cottheta = 1tantheta = 1x
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csctheta + cottheta = raizx^2+1+1x,
e
Ih = -ln!l|raizx^2+1+1xr| + C = ln!l|xraizx^2+1+1r| + C

Resposta

Ih = ln!l|xraizx^2+1+1r| + C

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