Exercício 7. Usando o teorema de Stokes, calcule integral duplaS nabla times F cdot d S.
F(x, y, z)=lang<=arctg(x^2 y z^2), x^2 y, x^2 z^2rang<= e S é o cone x=raizy^2+z^2, 0 <= x <= 1, orientado de modo que a primeira compnente de n seja positiva.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS (nabla times vec F) cdot dvec S, onde
vec F(x,y,z)=lang<= arctg(x^2yz^2),,x^2y,,x^2z^2rang<=
e S é o cone x=raizy^2+z^2, 0<= x<=1, orientado com a componente nx>0. Vamos usar o teorema de Stokes para reduzir a integral de superfície a uma integral de linha.

Passo 2

O teorema de Stokes diz que
integral duplaS(nablatimesvec F)cdot dvec S = ointpartial S vec Fcdot dvec r,
onde partial S é a fronteira de S, orientada segundo a regra da mão direita em relação ao vetor normal escolhido.

Passo 3

A fronteira partial S é a interseção do cone com o plano x=1, ou seja, o círculo
partial S: x=1, y^2+z^2=1
Como a normal do cone aponta para +x, a orientação positiva de partial S vista de dentro do cone corresponde ao sentido antihorário no plano x=1 olhando no sentido +x.

Passo 4

Parametrizamos a curva por
vec r(t) = (1,cos t,sin t), tin[0,2pi],
que produz
dvec rdt = (0,-sin t,cos t)

Passo 5

Substituindo na integral de linha, primeiro calculamos
vec F(vec r(t)) = l(arctg(1cdotcos tcdotsin^2 t),,cos t,,sin^2 tr)
Então
vec F(vec r(t))cdotdvec rdt = -cos tsin t + sin^2 tcos t

Passo 6

Agora integramos de 0 a 2pi:
integral0^2pil(-cos tsin tr)dt = 0,
integral0^2picos tsin^2 t,dt = 0
Logo
ointpartial Svec Fcdot dvec r = 0

Resposta

0

Exercícios relacionados