Exercício 7. Usando o teorema de Stokes, calcule
.
e
é o cone
, orientado de modo que a primeira compnente de
seja positiva.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde
e
é o cone
,
, orientado com a componente
. Vamos usar o teorema de Stokes para reduzir a integral de superfície a uma integral de linha.
Passo 2
O teorema de Stokes diz que
onde
é a fronteira de
, orientada segundo a regra da mão direita em relação ao vetor normal escolhido.
Passo 3
A fronteira
é a interseção do cone com o plano
, ou seja, o círculo
Como a normal do cone aponta para
, a orientação positiva de
vista de dentro do cone corresponde ao sentido antihorário no plano
olhando no sentido
.
Passo 4
Parametrizamos a curva por
que produz
Passo 5
Substituindo na integral de linha, primeiro calculamos
Então
Passo 6
Agora integramos de
a
:
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