Exercício 6: Calcule a integral
(f) integral0^pi / 2 cos ^5 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^pi/2 cos^5 t , dt. O conteúdo é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos usar substituição trigonométrica e expansão polinomial.

Passo 2

Escrevemos cos^5 t = cos^4 t cdot cos t e usamos cos^4 t = (1 - sin^2 t)^2. Aplicamos a substituição
u = sin t, dnu = cos t , dt
com limites de nu(0)=0 a nu(pi/2)=1. A integral se transforma em integral0^1(1 - nu^2)^2,dnu.

Passo 3

Expandimos o integrando: (1 - nu^2)^2 = 1 - 2nu^2 + nu^4. Então calculamos
integral0^1(1 - 2nu^2 + nu^4),dnu = l[nu - tfrac2nu^33 + tfracnu^55r]0^1 = 1 - tfrac23 + tfrac15 = tfrac815

Passo 4

Resposta

tfrac815

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