Use o método de substituição de variável para cacular:
integral 12 x d x(x^2+4)^7

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral 12 x , dx(x^2 + 4)^7 utilizando o método de substituição de variável. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente o método de substituição, para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Observamos que o denominador é (x^2 + 4) e que o numerador tem x , dx, que é a derivada de x^2 + 4. Assim, vamos definir a substituição:
u = x^2 + 4

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso significa que x , dx = du2.

Passo 4

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral 12x , dx(x^2 + 4)^7 = integral 12 cdot du2u^7 = integral 6 , duu^7

Passo 5

Simplificamos a integral:
integral 6 u^-7 , du
Agora, vamos integrar usando a regra da potência para integrais.

Passo 6

A regra da potência diz que integral u^n , du = u^n+1n+1 + C, desde que n neq -1. Aplicando isso:
6 cdot u^-6-6 + C = -u^-6 + C

Passo 7

Substituímos u de volta para a expressão em termos de x:
-u^-6 + C = -1(x^2 + 4)^6 + C

Resposta

A integral é igual a -dfrac1(x^2 + 4)^6 + C.

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