(3,0) Resolva o sistemas usando o método da Pivotação Completa e o método de Jordan.
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y+z+w=6 \\\ x-y+2 z+w=5 \\\ x+2 y-z+w=4 \\\ x+y+z-w=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear usando (a) o método da Pivotação Completa e (b) o método de Jordan. O sistema dado é:
\left\{\begin{array}{l} 2x+y+z+w=6,\\[4pt] x-y+2z+w=5,\\[4pt] x+2y-z+w=4,\\[4pt] x+y+z-w=2. \end{array}\right.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • São quatro equações lineares em quatro incógnitas x,y,z,w.
  • Deve-se apresentar a solução do sistema por dois métodos distintos: pivotação completa (que permite trocar linhas e colunas) e método de Jordan (Gauss–Jordan, que reduz a matriz aumentada à forma reduzida por linhas).
  • Ao trocar colunas na pivotação completa é preciso acompanhar a permutação das variáveis (ou seja, lembrar que ao trocar colunas trocou-se a ordem das incógnitas).]

Passo 2

Breve explicação das ferramentas (pra você entender antes de ver os passos):
  • Representação matricial: escrevemos o sistema como uma matriz aumentada \big[A\,|\,b\big] com A a matriz dos coeficientes e b o vetor dos termos independentes.
  • Operações elementares por linhas: somar múltiplos de uma linha em outra, multiplicar uma linha por escalar não nulo e trocar linhas. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • Pivotação completa: em cada etapa escolhe-se o elemento de maior módulo na submatriz restante; se ele não estiver na posição de pivô faz-se troca de linhas e/ou colunas para trazê-lo. Ao trocar colunas, registra-se a permutação das incógnitas.
  • Gauss–Jordan: sequência de operações por linhas que transforma a matriz aumentada diretamente na forma reduzida por linhas (matriz identidade à esquerda), permitindo ler a solução sem retro-substituição.
Agora vamos aplicar estes procedimentos passo a passo.

Passo 3

Matriz aumentada do sistema (escrita com as colunas correspondendo a x,y,z,w):
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 1 & -1 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 1 & 4\\[4pt] 1 & 1 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right].
Vamos primeiro resolver por pivotação completa.]

Passo 4

Procuramos, na matriz de coeficientes inteira, o elemento de maior módulo para ser o primeiro pivô. Os maiores módulos são 2 (existem alguns 2). Tomamos o elemento a_{11}=2 como pivô (não há necessidade de trocar colunas/nem linhas).
Usamos esse pivô para eliminar a primeira coluna nas linhas 2,3,4.
Multiplicadores:
m_{21}=\frac{1}{2},\qquad m_{31}=\frac{1}{2},\qquad m_{41}=\frac{1}{2}.
Operações (linha i\leftarrow linha i - m_{i1}\cdot linha 1):
\begin{aligned} \text{Linha 1:}&\quad [2\;\;1\;\;1\;\;1\;|\;6] \quad(\text{permanece})\\[4pt] \text{Linha 2:}&\quad [1\;{-1}\;2\;1\;|\;5] -\tfrac{1}{2}[2\;1\;1\;1\;|\;6] = [0\;{-\tfrac{3}{2}}\;\tfrac{3}{2}\;\tfrac{1}{2}\;|\;2]\\[6pt] \text{Linha 3:}&\quad [1\;2\;{-1}\;1\;|\;4] -\tfrac{1}{2}[2\;1\;1\;1\;|\;6] = [0\;\tfrac{3}{2}\;{-\tfrac{3}{2}}\;\tfrac{1}{2}\;|\;1]\\[6pt] \text{Linha 4:}&\quad [1\;1\;1\;{-1}\;|\;2] -\tfrac{1}{2}[2\;1\;1\;1\;|\;6] = [0\;\tfrac{1}{2}\;\tfrac{1}{2}\;{-\tfrac{3}{2}}\;|\;{-1}]. \end{aligned}
Matriz após a eliminação da primeira coluna:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & 2\\[4pt] 0 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & 1\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{2} & -1 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora olhamos a submatriz formada pelas linhas 2–4 e colunas 2–4. Procuramos o elemento de maior módulo nela. Os maiores módulos presentes são \tfrac{3}{2}. Podemos escolher como pivô o elemento na posição (2,2), a_{22}=-\tfrac{3}{2} — assim não precisamos trocar colunas.
Pivô escolhido: p_2 = -\tfrac{3}{2}.
Multiplicadores para eliminar abaixo na coluna 2:
m_{32}=\frac{\tfrac{3}{2}}{-\tfrac{3}{2}}=-1,\qquad m_{42}=\frac{\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{3}{2}}=-\tfrac{1}{3}.
Aplicando as operações:
\begin{aligned} \text{Linha 3:}&\quad \text{Linha 3} - m_{32}\cdot\text{Linha 2} = \text{Linha 3} -(-1)\,\text{Linha 2} = \text{Linha 3} + \text{Linha 2}\\\ &\quad [0\;\tfrac{3}{2}\;{-\tfrac{3}{2}}\;\tfrac{1}{2}\;|\;1] + [0\;{-\tfrac{3}{2}}\;\tfrac{3}{2}\;\tfrac{1}{2}\;|\;2] = [0\;0\;0\;1\;|\;3],\\[6pt] \text{Linha 4:}&\quad \text{Linha 4} - m_{42}\cdot\text{Linha 2} = \text{Linha 4} -(-\tfrac{1}{3})\text{Linha 2} = \text{Linha 4} + \tfrac{1}{3}\text{Linha 2}\\\ &\quad [0\;\tfrac{1}{2}\;\tfrac{1}{2}\;{-\tfrac{3}{2}}\;|\;-1] + \tfrac{1}{3}[0\;{-\tfrac{3}{2}}\;\tfrac{3}{2}\;\tfrac{1}{2}\;|\;2]\\\ &\quad = [0\;0\;1\;{-\tfrac{4}{3}}\;|\;{-\tfrac{1}{3}}]. \end{aligned}
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{array}\right].]

Passo 6

Agora a submatriz restante (linhas 3–4, colunas 3–4) tem elementos
\begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] 1 & -\tfrac{4}{3} \end{pmatrix}.
O elemento de maior módulo é -\tfrac{4}{3} (módulo \tfrac{4}{3}), que está em posição (4,4) da matriz completa — isso exige uma troca de linha e também uma troca de coluna para trazê-lo à posição pivô diagonal (3,3). Vamos:
  • trocar a linha 3 com a linha 4;
  • trocar a coluna 3 com a coluna 4 (isto é, trocar as incógnitas z e w na ordem das colunas).
Ao trocar a coluna 3 com a coluna 4 é importante registrar a permutação das variáveis:
  • Ordem original de colunas: (x,y,z,w).
  • Após esta troca de colunas a ordem passa a ser (x,y,w,z).
    Iremos lembrar dessa permutação para reatribuir os valores às incógnitas originais no final.
Após trocar linhas 3↔4 e colunas 3↔4, a matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & 2\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{4}{3} & 1 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{3}{4} & \tfrac{11}{4} \end{array}\right],
onde, novamente, a terceira coluna é agora w e a quarta coluna é agora z.]

Passo 7

O pivô na posição (3,3) é p_3 = -\tfrac{4}{3}. Eliminamos o elemento abaixo dele na coluna 3 (linha 4).
Multiplicador:
m_{43}=\frac{0}{-\tfrac{4}{3}}=0\quad\text{(aqui o elemento já era \(1\) antes da troca; após a troca verificamos que a linha 4 tem \(1\) na coluna 3?)}.áó
(Nota: na prática, com os valores que temos, o multiplicador para transformar o 1 que estava na linha 4, coluna 3 é m_{43}=\dfrac{1}{-\tfrac{4}{3}}=-\tfrac{3}{4}. Aplicando esse valor e realizando a operação obtemos a linha 4 atualizada.)
Aplicando a operação linha 4 ← linha 4 − m_{43}·linha 3 com m_{43}=-\tfrac{3}{4} (ou seja, linha 4 ← linha 4 + \tfrac{3}{4}·linha 3):
\begin{aligned} \text{Linha 4: }&[0\;0\;1\;0\;|\;3] + \tfrac{3}{4}[0\;0\;-\tfrac{4}{3}\;1\;|\;-\tfrac{1}{3}]\\\ &= [0\;0\;0\;\tfrac{3}{4}\;|\;\tfrac{11}{4}]. \end{aligned}
(A conta dá a mesma linha 4 que já escrevemos no passo anterior por consistência.)
Agora temos uma matriz triangular superior (com a ordem de colunas possivelmente permutada):
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & 2\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{4}{3} & 1 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{3}{4} & \tfrac{11}{4} \end{array}\right],
lembrando que as colunas estão na ordem (x,y,w,z).]

Passo 8

Agora fazemos retro-substituição considerando a ordem atual das colunas (x,y,w,z).
Da linha 4:
\tfrac{3}{4}\,z = \tfrac{11}{4}\quad\Rightarrow\quad z=\frac{\tfrac{11}{4}}{\tfrac{3}{4}}=\frac{11}{3}.
Da linha 3 (lembrando que a coluna 3 agora corresponde a w):
-\tfrac{4}{3}\,w + 1\cdot z = -\tfrac{1}{3}.
Substituindo z=\tfrac{11}{3}:
-\tfrac{4}{3}\,w + \tfrac{11}{3} = -\tfrac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad -\tfrac{4}{3}w = -\tfrac{12}{3} = -4
\Rightarrow\quad w = 3.
Da linha 2:
-\tfrac{3}{2}\,y + \tfrac{1}{2}\,w + \tfrac{3}{2}\,z = 2.
Substituindo w=3 e z=\tfrac{11}{3}:
-\tfrac{3}{2}y + \tfrac{1}{2}\cdot 3 + \tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{11}{3} = 2
-\tfrac{3}{2}y + \tfrac{3}{2} + \tfrac{11}{2} = 2
-\tfrac{3}{2}y + 7 = 2 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{3}{2}y = -5 \quad\Rightarrow\quad y = \tfrac{10}{3}.
Da linha 1 (colunas na ordem (x,y,w,z)):
2x + y + w + z = 6.
Substituindo y=\tfrac{10}{3}, w=3, z=\tfrac{11}{3}:
2x + \tfrac{10}{3} + 3 + \tfrac{11}{3} = 6
2x + \left(\tfrac{10}{3}+\tfrac{11}{3}\right) + 3 = 6
2x + 7 + 3 = 6 \quad\Rightarrow\quad 2x + 10 = 6 \quad\Rightarrow\quad x = -2.
Agora restauramos a ordem original das incógnitas. Lembra que trocamos as colunas z e w mas já consideramos isso na leitura das equações (tratamos a coluna 3 como w e a coluna 4 como z). Portanto os valores finais nas incógnitas originais são:
x=-2,\quad y=\tfrac{10}{3},\quad z=\tfrac{11}{3},\quad w=3.
Terminei a resolução pelo método da pivotação completa. Agora vamos ao método de Jordan (Gauss–Jordan).

Passo 9

O método de Jordan (Gauss–Jordan) aplica operações elementares por linhas para transformar a matriz aumentada diretamente na forma reduzida por linhas (matriz identidade à esquerda). Isso evita retro-substituição: ao final cada linha corresponde a uma variável. Vou mostrar as operações de forma detalhada.
Partimos da matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 1 & -1 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 1 & 4\\[4pt] 1 & 1 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 10

Tornamos o pivô da primeira linha igual a 1 (dividindo a linha 1 por 2):
\text{Linha 1} \leftarrow \tfrac{1}{2}\,\text{Linha 1} = [1\; \tfrac{1}{2}\; \tfrac{1}{2}\; \tfrac{1}{2}\;|\;3].
Eliminamos a coluna 1 nas linhas 2,3,4 subtraindo múltiplos da linha 1:
\begin{aligned} \text{Linha 2} &\leftarrow \text{Linha 2} - 1\cdot\text{Linha 1} = [0\; -\tfrac{3}{2}\; \tfrac{3}{2}\; \tfrac{1}{2}\;|\;2],\\[4pt] \text{Linha 3} &\leftarrow \text{Linha 3} - 1\cdot\text{Linha 1} = [0\; \tfrac{3}{2}\; -\tfrac{3}{2}\; \tfrac{1}{2}\;|\;1],\\[4pt] \text{Linha 4} &\leftarrow \text{Linha 4} - 1\cdot\text{Linha 1} = [0\; \tfrac{1}{2}\; \tfrac{1}{2}\; -\tfrac{3}{2}\;|\; -1]. \end{aligned}
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 3\\[4pt] 0 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & 2\\[4pt] 0 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & 1\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{2} & -1 \end{array}\right].]

Passo 11

Escolhemos o pivô na segunda linha, coluna 2: -\tfrac{3}{2}. Normalizamos a linha 2 multiplicando por -\tfrac{2}{3}:
\text{Linha 2} \leftarrow -\tfrac{2}{3}\,\text{Linha 2} = [0\;1\;-1\;-\tfrac{1}{3}\;|\; -\tfrac{4}{3}].
Eliminamos as entradas não nulas na coluna 2 nas outras linhas:
  • Linha 1: subtraímos \tfrac{1}{2} vezes a linha 2:
\text{Linha 1}\leftarrow \text{Linha 1} - \tfrac{1}{2}\text{Linha 2} = [1\;0\;1\;\tfrac{2}{3}\;|\;\tfrac{11}{3}].
  • Linha 3: subtraímos \tfrac{3}{2} vezes a linha 2:
\text{Linha 3}\leftarrow \text{Linha 3} - \tfrac{3}{2}\text{Linha 2} = [0\;0\;0\;1\;|\;3].
  • Linha 4: subtraímos \tfrac{1}{2} vezes a linha 2:
\text{Linha 4}\leftarrow \text{Linha 4} - \tfrac{1}{2}\text{Linha 2} = [0\;0\;1\;-\tfrac{4}{3}\;|\; -\tfrac{1}{3}].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{11}{3}\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{array}\right].]

Passo 12

A terceira linha tem 0 na coluna 3, mas a quarta linha tem 1 na coluna 3. Trocaremos as linhas 3 e 4 para ter um pivô não nulo na posição (3,3):
\text{Linha 3}\leftrightarrow\text{Linha 4}.
Após a troca:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{11}{3}\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right].
Agora usamos o pivô 1 na posição (3,3) para eliminar a coluna 3 nas outras linhas:
  • Linha 1 ← Linha 1 − 1·Linha 3:
[1\;0\;0\;\tfrac{2}{3}-(-\tfrac{4}{3})\;|\;\tfrac{11}{3}-(-\tfrac{1}{3})] = [1\;0\;0\;2\;|\;4].
  • Linha 2 ← Linha 2 + 1·Linha 3:
[0\;1\;0\; -\tfrac{1}{3}-\tfrac{4}{3}\;|\;- \tfrac{4}{3} -\tfrac{1}{3}] = [0\;1\;0\; -\tfrac{5}{3}\;|\; -\tfrac{5}{3}].
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{5}{3} & -\tfrac{5}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right].]

Passo 13

Agora usamos o pivô da última linha (linha 4, coluna 4), que é 1, para eliminar as entradas acima na coluna 4:
  • Linha 1 ← Linha 1 − 2 \timesLinha 4:
[1\;0\;0\;0\;|\;4 - 2\cdot 3] = [1\;0\;0\;0\;|\;-2].
  • Linha 2 ← Linha 2 + \tfrac{5}{3} \timesLinha 4:
[0\;1\;0\;0\;|\; -\tfrac{5}{3} + \tfrac{5}{3}\cdot 3] = [0\;1\;0\;0\;|\;\tfrac{10}{3}].
  • Linha 3 ← Linha 3 + \tfrac{4}{3} \timesLinha 4:
[0\;0\;1\;0\;|\; -\tfrac{1}{3} + \tfrac{4}{3}\cdot 3] = [0\;0\;1\;0\;|\;\tfrac{11}{3}].
A matriz em forma reduzida por linhas (RREF) é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac{10}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & \tfrac{11}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right].]

Passo 14

Da matriz RREF lemos diretamente:
x = -2,\qquad y = \tfrac{10}{3},\qquad z = \tfrac{11}{3},\qquad w = 3.
Podemos comparar com o resultado obtido pela pivotação completa: são exatamente os mesmos valores, como esperado.

Resposta

x=-2
y=\dfrac{10}{3}
z=\dfrac{11}{3}
w=3

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