São quatro equações lineares em quatro incógnitas x,y,z,w.
Deve-se apresentar a solução do sistema por dois métodos distintos: pivotação completa (que permite trocar linhas e colunas) e método de Jordan (Gauss–Jordan, que reduz a matriz aumentada à forma reduzida por linhas).
Ao trocar colunas na pivotação completa é preciso acompanhar a permutação das variáveis (ou seja, lembrar que ao trocar colunas trocou-se a ordem das incógnitas).]
Passo 2
Breve explicação das ferramentas (pra você entender antes de ver os passos):
Representação matricial: escrevemos o sistema como uma matriz aumentada \big[A\,|\,b\big] com A a matriz dos coeficientes e b o vetor dos termos independentes.
Operações elementares por linhas: somar múltiplos de uma linha em outra, multiplicar uma linha por escalar não nulo e trocar linhas. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
Pivotação completa: em cada etapa escolhe-se o elemento de maior módulo na submatriz restante; se ele não estiver na posição de pivô faz-se troca de linhas e/ou colunas para trazê-lo. Ao trocar colunas, registra-se a permutação das incógnitas.
Gauss–Jordan: sequência de operações por linhas que transforma a matriz aumentada diretamente na forma reduzida por linhas (matriz identidade à esquerda), permitindo ler a solução sem retro-substituição.
Agora vamos aplicar estes procedimentos passo a passo.
Passo 3
Matriz aumentada do sistema (escrita com as colunas correspondendo a x,y,z,w):
Procuramos, na matriz de coeficientes inteira, o elemento de maior módulo para ser o primeiro pivô. Os maiores módulos são 2 (existem alguns 2). Tomamos o elemento a_{11}=2 como pivô (não há necessidade de trocar colunas/nem linhas).
Usamos esse pivô para eliminar a primeira coluna nas linhas 2,3,4.
Agora olhamos a submatriz formada pelas linhas 2–4 e colunas 2–4. Procuramos o elemento de maior módulo nela. Os maiores módulos presentes são \tfrac{3}{2}. Podemos escolher como pivô o elemento na posição (2,2), a_{22}=-\tfrac{3}{2} — assim não precisamos trocar colunas.
O elemento de maior módulo é -\tfrac{4}{3} (módulo \tfrac{4}{3}), que está em posição (4,4) da matriz completa — isso exige uma troca de linha e também uma troca de coluna para trazê-lo à posição pivô diagonal (3,3). Vamos:
trocar a linha 3 com a linha 4;
trocar a coluna 3 com a coluna 4 (isto é, trocar as incógnitas z e w na ordem das colunas).
Ao trocar a coluna 3 com a coluna 4 é importante registrar a permutação das variáveis:
Ordem original de colunas: (x,y,z,w).
Após esta troca de colunas a ordem passa a ser (x,y,w,z).
Iremos lembrar dessa permutação para reatribuir os valores às incógnitas originais no final.
Após trocar linhas 3↔4 e colunas 3↔4, a matriz fica:
onde, novamente, a terceira coluna é agora w e a quarta coluna é agora z.]
Passo 7
O pivô na posição (3,3) é p_3 = -\tfrac{4}{3}. Eliminamos o elemento abaixo dele na coluna 3 (linha 4).
Multiplicador:
m_{43}=\frac{0}{-\tfrac{4}{3}}=0\quad\text{(aqui o elemento já era \(1\) antes da troca; após a troca verificamos que a linha 4 tem \(1\) na coluna 3?)}.áó
(Nota: na prática, com os valores que temos, o multiplicador para transformar o 1 que estava na linha 4, coluna 3 é m_{43}=\dfrac{1}{-\tfrac{4}{3}}=-\tfrac{3}{4}. Aplicando esse valor e realizando a operação obtemos a linha 4 atualizada.)
Aplicando a operação linha 4 ← linha 4 − m_{43}·linha 3 com m_{43}=-\tfrac{3}{4} (ou seja, linha 4 ← linha 4 + \tfrac{3}{4}·linha 3):
Agora restauramos a ordem original das incógnitas. Lembra que trocamos as colunas z e w mas já consideramos isso na leitura das equações (tratamos a coluna 3 como w e a coluna 4 como z). Portanto os valores finais nas incógnitas originais são:
Terminei a resolução pelo método da pivotação completa. Agora vamos ao método de Jordan (Gauss–Jordan).
Passo 9
O método de Jordan (Gauss–Jordan) aplica operações elementares por linhas para transformar a matriz aumentada diretamente na forma reduzida por linhas (matriz identidade à esquerda). Isso evita retro-substituição: ao final cada linha corresponde a uma variável. Vou mostrar as operações de forma detalhada.