Exercício 3. Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada indicada abaixo:
a)
a)
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
O que o exercício pede: desenhar (ou descrever geometricamente) o sólido cujo volume é igual a essa integral.
Informações explícitas das integrais (pegas diretamente dos limites):
Informações explícitas das integrais (pegas diretamente dos limites):
-
varia de a . - Para cada
fixo, varia de a . - Para cada
fixos, varia de a .
Passo 2
Interpretar os limites como desigualdades que definem a região
no espaço
. A partir dos limites temos:
Essas três linhas significam que
é o conjunto de pontos
que satisfazem essas desigualdades simultaneamente.
Passo 3
Encontrar a projeção de
no plano
(ou seja, ver para quais
existem valores de
).
Como sempre tem intervalo não vazio quando
, a projeção no plano
é o triângulo
Como
Os vértices desse triângulo são
. Portanto, no plano
a base é um triângulo retângulo com catetos sobre os eixos
e
.
Passo 4
Entender a altura em
sobre cada ponto da projeção
. Para cada
temos
variando de
até
Note que
depende só de
, não de
. Logo sobre cada ponto do triângulo
erguemos um segmento vertical de
até
. A superfície superior do sólido é o plano
e a superfície inferior é o plano
.
Passo 5
Listar as superfícies que limitam o sólido
:
- Plano lateral
(lado do triângulo), - Plano lateral
(outro lado do triângulo), - Plano oblíquo
(o terceiro lado do triângulo, vem de ), - Plano inferior
, - Plano superior
(inclinado em relação ao eixo , paralelo ao eixo ).
Passo 6
Como esboçar o sólido passo a passo (dicas práticas para o desenho):
- Desenhe os eixos
, no chão (plano horizontal do desenho) e o eixo vertical subindo. - No plano
desenhe o triângulo com vértices . Marque a hipotenusa dada por . - Para cada ponto do triângulo, desenhe um segmento vertical (paralelo a
) cujo comprimento é . Como esse comprimento depende só de , as arestas sobre têm altura (por exemplo os pontos e têm topo em ), e no vértice a altura é (o topo coincide com o chão ali). - Ligue esses topos formando a superfície plana
. Essa superfície é um plano paralelo ao eixo e inclinado em - .
O sólido resultante lembra um “prisma triangular” com topo inclinado que vai de alturanas arestas com até altura num vértice onde .
Passo 7
Explicar por que o topo é um plano paralelo ao eixo
: a equação
não envolve
, portanto para qualquer
fixo a altura em
é igual para pontos com o mesmo
; isso significa que a superfície superior é formada por linhas paralelas ao eixo
.
Passo 8
Calcular o volume para confirmar (isso também ajuda a visualizar a forma): avaliar a integral passo a passo.
Primeiro integrar em :
Primeiro integrar em
Substituindo,
Agora integrar em
:
Simplificando:
Finalmente integrar em
:
Portanto o volume do sólido é
.
Passo 9
Resumo geométrico intuitivo final (para você desenhar com confiança): o sólido tem base triangular no plano
com vértices
,
e
(ordem
). Sobre essa base ergue-se uma superfície plana superior
, que é constante em
e decresce linearmente com
, de modo que as arestas sobre
têm altura
e o vértice em
tem altura
.
Resposta
Região
.
Volume .
Volume