Exercício 3. Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada indicada abaixo:
a) \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{2-2 z} d y d z d x

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{2-2 z} d y\, d z\, d x
O que o exercício pede: desenhar (ou descrever geometricamente) o sólido cujo volume é igual a essa integral.
Informações explícitas das integrais (pegas diretamente dos limites):
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada x fixo, z varia de 0 a 1-x.
  • Para cada (x,z) fixos, y varia de 0 a 2-2z.

Passo 2

Interpretar os limites como desigualdades que definem a região R no espaço (x,y,z). A partir dos limites temos:
0 \le x \le 1, \qquad 0 \le z \le 1-x, \qquad 0 \le y \le 2-2z.
Essas três linhas significam que R é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem essas desigualdades simultaneamente.

Passo 3

Encontrar a projeção de R no plano xz (ou seja, ver para quais (x,z) existem valores de y).
Como y sempre tem intervalo não vazio quando 0 \le z \le 1-x, a projeção no plano xz é o triângulo
T=\{(x,z)\mid 0\le x\le1,\\\ 0\le z\le 1-x\}.
Os vértices desse triângulo são (x,z)=(0,0),\\ (1,0),\\ (0,1). Portanto, no plano xz a base é um triângulo retângulo com catetos sobre os eixos x e z.

Passo 4

Entender a altura em y sobre cada ponto da projeção T. Para cada (x,z)\in T temos y variando de 0 até
y_{\text{top}}(z)=2-2z.
Note que y_{\text{top}} depende só de z, não de x. Logo sobre cada ponto do triângulo T erguemos um segmento vertical de y=0 até y=2-2z. A superfície superior do sólido é o plano
y=2-2z,
e a superfície inferior é o plano y=0.

Passo 5

Listar as superfícies que limitam o sólido R:
  • Plano lateral x=0 (lado do triângulo),
  • Plano lateral z=0 (outro lado do triângulo),
  • Plano oblíquo x+z=1 (o terceiro lado do triângulo, vem de z=1-x),
  • Plano inferior y=0,
  • Plano superior \;y=2-2z (inclinado em relação ao eixo z, paralelo ao eixo x).

Passo 6

Como esboçar o sólido passo a passo (dicas práticas para o desenho):
  1. Desenhe os eixos x, z no chão (plano horizontal do desenho) e o eixo y vertical subindo.
  2. No plano xz desenhe o triângulo com vértices (0,0), (1,0), (0,1). Marque a hipotenusa dada por x+z=1.
  3. Para cada ponto do triângulo, desenhe um segmento vertical (paralelo a y) cujo comprimento é 2-2z. Como esse comprimento depende só de z, as arestas sobre z=0 têm altura 2 (por exemplo os pontos (0,0) e (1,0) têm topo em y=2), e no vértice (0,1) a altura é 2-2\cdot1=0 (o topo coincide com o chão ali).
  4. Ligue esses topos formando a superfície plana y=2-2z. Essa superfície é um plano paralelo ao eixo x e inclinado em y- z.
    O sólido resultante lembra um “prisma triangular” com topo inclinado que vai de altura 2 nas arestas com z=0 até altura 0 num vértice onde z=1.

Passo 7

Explicar por que o topo é um plano paralelo ao eixo x: a equação y=2-2z não envolve x, portanto para qualquer x fixo a altura em y é igual para pontos com o mesmo z; isso significa que a superfície superior é formada por linhas paralelas ao eixo x.

Passo 8

Calcular o volume para confirmar (isso também ajuda a visualizar a forma): avaliar a integral passo a passo.
Primeiro integrar em y:
\int_{0}^{2-2z} d y = 2-2z.
Substituindo,
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\bigl(2-2z\bigr)\, d z\, d x.
Agora integrar em z:
\int_{0}^{1-x} \bigl(2-2z\bigr)\, d z = \left[2z - z^{2}\right]_{0}^{1-x} = 2(1-x) - (1-x)^{2}.
Simplificando:
2(1-x)-(1-x)^{2}=1-x^{2}.
Finalmente integrar em x:
\int_{0}^{1} \bigl(1-x^{2}\bigr)\, d x = \left[x - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}.
Portanto o volume do sólido é \dfrac{2}{3}.

Passo 9

Resumo geométrico intuitivo final (para você desenhar com confiança): o sólido tem base triangular no plano y=0 com vértices (0,0,0), (1,0,0) e (0,0,1) (ordem (x,y,z)). Sobre essa base ergue-se uma superfície plana superior y=2-2z, que é constante em x e decresce linearmente com z, de modo que as arestas sobre z=0 têm altura 2 e o vértice em z=1,x=0 tem altura 0.

Resposta

Região R=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\\\ 0\le z\le1-x,\\\ 0\le y\le2-2z\}.
Volume =\dfrac{2}{3}.

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