Exercício 5. Calcule a integral de linha do campo pelo caminho especificado.
\vec{F}(x, y)=\left(2 x y^{2}, 2 x^{2} y-1\right) e \gamma é a poligonal que liga (-1,2) a (0,0) a (2,4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r
onde \vec F(x,y)=(2xy^2,\;2x^2y-1) e \gamma é a curva poligonal que vai de (-1,2) a (0,0) e depois a (2,4).
Conteúdo: integrais de linha de campos vetoriais e testes de campo conservativo. Vamos verificar se \vec F é conservativo e, em caso afirmativo, usar sua função potencial para calcular a integral de forma independente do caminho.

Passo 2

Para ver se \vec F=(P,Q) é conservativo, calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(2xy^2) =4xy,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(2x^2y-1) =4xy.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em \Bbb R^2 e \vec F é de classe C^1, concluímos que \vec F é conservativo.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P=2xy^2.
Integrando em relação a x,
\varphi(x,y)=\int 2xy^2\,dx=x^2y^2+g(y),
onde g é função de y. Para determinar g, usamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =2x^2y+g'(y)\stackrel{!}{=}Q=2x^2y-1,
logo g'(y)=-1 e g(y)=-y+C. Podemos tomar C=0, ficando
\varphi(x,y)=x^2y^2 - y.

Passo 4

Como a integral de linha entre pontos é independente do caminho, temos
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =\varphi\bigl(2,4\bigr)-\varphi\bigl(-1,2\bigr).
Calculando:
\varphi(2,4)=2^2\cdot4^2-4=4\cdot16-4=64-4=60,
\varphi(-1,2)=(-1)^2\cdot2^2-2=1\cdot4-2=4-2=2.

Passo 5

Portanto,
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =60-2=58.

Resposta

58

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