Exercício 2. Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
\vec{F}(x, y, z)=\left(\cos \left(x^{2}+y^{2}\right), \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right), z\right);

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\bigl(\cos(x^{2}+y^{2}),\,\sin(x^{2}+y^{2}),\,z\bigr)
e pede a divergência. O conteúdo envolvido é o cálculo de divergência em coordenadas cartesianas, cuja definição é
\operatorname{div}\vec{F} =\frac{\partial F_{1}}{\partial x} +\frac{\partial F_{2}}{\partial y} +\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.

Passo 2

Calculamos \partial F_{1}/\partial x. Como F_{1}(x,y,z)=\cos(x^{2}+y^{2}), usamos a regra da cadeia com u=x^{2}+y^{2}:
\frac{\partial F_{1}}{\partial x} =\frac{d}{dx}\cos(u) =-\sin(u)\,\frac{du}{dx} =-\sin(x^{2}+y^{2})\cdot2x =-2x\,\sin(x^{2}+y^{2}).

Passo 3

Calculamos \partial F_{2}/\partial y. Aqui F_{2}(x,y,z)=\sin(x^{2}+y^{2}) e de novo u=x^{2}+y^{2}:
\frac{\partial F_{2}}{\partial y} =\frac{d}{dy}\sin(u) =\cos(u)\,\frac{du}{dy} =\cos(x^{2}+y^{2})\cdot2y =2y\,\cos(x^{2}+y^{2}).

Passo 4

Calculamos \partial F_{3}/\partial z. Como F_{3}(x,y,z)=z, a derivada em relação a z é
\frac{\partial F_{3}}{\partial z} =1.

Passo 5

Somamos as três derivadas parciais para obter a divergência:
\operatorname{div}\vec{F} =-2x\,\sin(x^{2}+y^{2}) +2y\,\cos(x^{2}+y^{2}) +1.

Resposta

\operatorname{div}\vec{F}(x,y,z) =-2x\,\sin(x^{2}+y^{2}) +2y\,\cos(x^{2}+y^{2}) +1.

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