Exercício 5. Calcule a integral de linha do campo pelo caminho especificado.
\vec{F}(x, y)=\left(x^{3}, y^{3}\right) e \gamma(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t), 0 \leq t \leq \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r
para o campo vetorial \vec F(x,y)=(x^{3},y^{3}) ao longo da curva \gamma(t)=(\cos t,\sin t), 0\le t\le\pi/2. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial via parametrização: precisamos escrever \vec F e d\vec r em função de t, fazer o produto escalar e integrar.

Passo 2

Parametrizamos:
x(t)=\cos t, \quad y(t)=\sin t,
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\frac{dx}{dt}=-\sin t, \quad \frac{dy}{dt}=\cos t,
e
d\vec r =(dx,dy) =(-\sin t,\cos t)\,dt.

Passo 3

Substituindo em \vec F e fazendo o produto escalar:
\vec F(\gamma(t))\cdot d\vec r =(\cos^{3}t,\sin^{3}t)\cdot(-\sin t,\cos t)\,dt =\bigl(-\cos^{3}t\,\sin t+\sin^{3}t\,\cos t\bigr)\,dt.

Passo 4

Fatorando e usando identidades trigonométricas:
-\cos^{3}t\,\sin t+\sin^{3}t\,\cos t =\sin t\cos t\bigl(\sin^{2}t-\cos^{2}t\bigr) =\sin t\cos t\,( -\cos2t) =-\tfrac12\sin2t\cos2t =-\tfrac14\sin4t.

Passo 5

Portanto a integral é
\int_{0}^{\pi/2}\bigl(-\tfrac14\sin4t\bigr)\,dt =-\tfrac14\int_{0}^{\pi/2}\sin4t\,dt =-\tfrac14\Bigl[-\tfrac14\cos4t\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\tfrac1{16}\bigl(\cos2\pi-\cos0\bigr) =\tfrac1{16}(1-1) =0.

Resposta

0

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