Exercício 7. Calcule a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
de equação
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
e
é a elipse
orientada no sentido anti-horário.
O conteúdo é cálculo de integrais de linha em campos não-conservativos com singularidade no interior, usando decomposição e Teorema de Green.
O conteúdo é cálculo de integrais de linha em campos não-conservativos com singularidade no interior, usando decomposição e Teorema de Green.
Passo 2
Vamos decompor
onde
Note que
é o campo clássico cuja circulação em torno de uma curva que envolve a origem é
, e
tem divergência nula e pode ser tratada pelo Teorema de Green.
Passo 3
Cálculo de
:
Mesmo que seja uma elipse, o índice de volta em torno da origem é 1, e sabe-se que
Mesmo que
Isso decorre do fato de
em coordenadas polares, gerando uma volta completa de
.
Passo 4
Cálculo de
via Teorema de Green.
Escrevendo com
e
, temos
Escrevendo
Logo
Como
é o interior da elipse de semi-eixos
e
,
então
Passo 5
Somando as duas contribuições: