\vec{F}(x, y)=\left(\frac{y}{(x-1)^{2}+4 y^{2}}, \frac{-(x-1)}{(x-1)^{2}+4 y^{2}}\right)+\left(-x y+\sin y, x^{2}+x \cos y\right)
e seja C a curva que é fronteira da região limitada pelos gráficos das funções y=8+2 x-x^{2} e y=x^{2}-4 percorrida no sentido horário. Calcule \int_{C} F \cdot d r.
e C é a fronteira da região \Omega limitada por y=8+2x-x^2 (cima) e y=x^2-4 (baixo), percorrida no sentido horário. Vamos separar \vec F=\vec F_1+\vec F_2 e tratar cada parte:
\vec F_1 tem singularidade em (1,0), que está dentro de \Omega.
\vec F_2 é contínua em todo \Omega, então podemos usar o Teorema de Green.
Passo 2
Cálculo de \displaystyle \oint_{C}\vec F_1\cdot d\vec r.
A ideia é excluir da região um pequeno disco centrado em (1,0), aplicar Green (curl\,\vec F_1=0 fora da singularidade) e relacionar o contorno C com o contorno do pequenino círculo C_\varepsilon. Pelo Teorema de Green em \Omega\setminus\{\text{disco}\} com orientação positiva (CCW) vale
\oint_{C}^{\text{(CCW)}}\vec F_1\cdot d\vec r \;-\; \oint_{C_\varepsilon}^{\text{(CCW)}}\vec F_1\cdot d\vec r \;=\; \iint_{\Omega\setminus\{\text{disco}\}} \Bigl(\frac{\partial Q_1}{\partial x}-\frac{\partial P_1}{\partial y}\Bigr)dA =0.
Mas C é percorrida no sentido horário, ou seja, na orientação negativa. Então
\oint_{C}^{\text{(horário)}}\vec F_1\cdot d\vec r =-\oint_{C}^{\text{(CCW)}}\vec F_1\cdot d\vec r =\;\oint_{C_\varepsilon}^{\text{(CCW)}}\vec F_1\cdot d\vec r.á
Passo 3
Cálculo de \displaystyle \oint_{C_\varepsilon}^{\text{(CCW)}}\vec F_1\cdot d\vec r.
Parametrizamos um círculo de raio \varepsilon em torno de (1,0) por