Calcule a integral de linha do campo \vec{F} ao longo de C_{1} e C_{2}, orientadas no sentido anti-horário, onde C_{1}: x^{2}+(y-1)^{2}=1 e C_{2}: x^{2}+y^{2}=16.
Passo 1
O enunciado pede as integrais de linha \displaystyle \oint_{C_1}\vec F\cdot d\vec r e \displaystyle \oint_{C_2}\vec F\cdot d\vec r,
onde
o campo é singular em (0,1), C_1 é o círculo unitário centrado em (0,1) e C_2 é o círculo de raio 4 centrado em (0,0), ambos orientados anti‐horário.
Conteúdo: integrais de linha em campos não conservativos com singularidade isolada; vamos decompor \vec F em duas partes, uma com singularidade pontual e outra regular.
A parte \vec G tem singularidade em (0,1) e gera toda a circulação associada ao ponto, enquanto \vec H é suave.
Passo 3
Mostramos que para qualquer curva simples que rodeie (0,1) uma vez no sentido anti‐horário vale
\oint \vec G\cdot d\vec r=-2\pi.
De fato, em coordenadas locais u=x,\;v=y-1 temos \vec G=(v/(u^2+v^2),-u/(u^2+v^2)).
Parametrizando u=\cos t,\;v=\sin t, t\in[0,2\pi], obtém‐se \vec G\cdot d\vec r=-1\,dt e a integral dá -2\pi.
Passo 4
Integral em C_1:
a) Já \displaystyle\oint_{C_1}\vec G\cdot d\vec r=-2\pi.
b) Para \vec H=(y,0) vale
\oint_{C_1}\vec H\cdot d\vec r =\oint_{C_1}y\,dx \quad\text{com }x=\cos t,\;y=1+\sin t,
\oint_{C_1}\vec F\cdot d\vec r =\oint_{C_1}\vec G\cdot d\vec r -\oint_{C_1}\vec H\cdot d\vec r =(-2\pi)-(-\pi)=-\pi.
Passo 5
Integral em C_2:
a) A parte singular é a mesma, pois C_2 também encerra (0,1) uma vez, logo \displaystyle\oint_{C_2}\vec G\cdot d\vec r=-2\pi.
b) Para \vec H sobre C_2: