Exercício 6. Seja
F(x, y)=\left(\frac{y-1}{x^{2}+(y-1)^{2}}-y, \frac{-x}{x^{2}+(y-1)^{2}}\right) ;(x, y) \neq(0,1)
Calcule a integral de linha do campo \vec{F} ao longo de C_{1} e C_{2}, orientadas no sentido anti-horário, onde C_{1}: x^{2}+(y-1)^{2}=1 e C_{2}: x^{2}+y^{2}=16.

Passo 1

O enunciado pede as integrais de linha \displaystyle \oint_{C_1}\vec F\cdot d\vec r e \displaystyle \oint_{C_2}\vec F\cdot d\vec r,
onde
\vec F(x,y) =\Bigl(\frac{y-1}{x^2+(y-1)^2}-y,\;\frac{-x}{x^2+(y-1)^2}\Bigr),
o campo é singular em (0,1), C_1 é o círculo unitário centrado em (0,1) e C_2 é o círculo de raio 4 centrado em (0,0), ambos orientados anti‐horário.
Conteúdo: integrais de linha em campos não conservativos com singularidade isolada; vamos decompor \vec F em duas partes, uma com singularidade pontual e outra regular.

Passo 2

Decomponho
\vec F(x,y)=\underbrace{\Bigl(\frac{y-1}{x^2+(y-1)^2},\;-\frac{x}{x^2+(y-1)^2}\Bigr)}_{\vec G(x,y)} \;-\;\underbrace{(y,0)}_{\vec H(x,y)}.
A parte \vec G tem singularidade em (0,1) e gera toda a circulação associada ao ponto, enquanto \vec H é suave.

Passo 3

Mostramos que para qualquer curva simples que rodeie (0,1) uma vez no sentido anti‐horário vale
\oint \vec G\cdot d\vec r=-2\pi.
De fato, em coordenadas locais u=x,\;v=y-1 temos \vec G=(v/(u^2+v^2),-u/(u^2+v^2)).
Parametrizando u=\cos t,\;v=\sin t, t\in[0,2\pi], obtém‐se \vec G\cdot d\vec r=-1\,dt e a integral dá -2\pi.

Passo 4

Integral em C_1:
a) Já \displaystyle\oint_{C_1}\vec G\cdot d\vec r=-2\pi.
b) Para \vec H=(y,0) vale
\oint_{C_1}\vec H\cdot d\vec r =\oint_{C_1}y\,dx \quad\text{com }x=\cos t,\;y=1+\sin t,
dx=-\sin t\,dt \quad\Longrightarrow\quad \oint_{C_1}y\,dx =\int_{0}^{2\pi}(1+\sin t)(-\,\sin t)\,dt =-\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt-\int_{0}^{2\pi}\sin^2t\,dt =-\pi.
Logo
\oint_{C_1}\vec F\cdot d\vec r =\oint_{C_1}\vec G\cdot d\vec r -\oint_{C_1}\vec H\cdot d\vec r =(-2\pi)-(-\pi)=-\pi.

Passo 5

Integral em C_2:
a) A parte singular é a mesma, pois C_2 também encerra (0,1) uma vez, logo \displaystyle\oint_{C_2}\vec G\cdot d\vec r=-2\pi.
b) Para \vec H sobre C_2:
x=4\cos t,\;y=4\sin t,\;dx=-4\sin t\,dt \quad\Longrightarrow\quad \oint_{C_2}y\,dx =\int_{0}^{2\pi}4\sin t\cdot(-4\sin t)\,dt =-16\int_{0}^{2\pi}\sin^2t\,dt=-16\pi.
Então
\oint_{C_2}\vec F\cdot d\vec r =(-2\pi)-(-16\pi)=14\pi.

Resposta

Integral sobre C_{1}: -\pi
Integral sobre C_{2}: 14\pi

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