Exercício 4. Calcule a integral de superfície. , onde S é o cone .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde a superfície é o cone parametrizado por , com e . Vamos usar a teoria de integrais de superfície de campos escalares.
Passo 2
Para calcular , a gente parametra a superfície por e usa a fórmula
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
r(u,v)=l(ucos v,;usin v,;ur),
ru = (cos v,;sin v,;1), rv = (-usin v,;ucos v,;0)
O produto vetorial dá
ru times rv = (-ucos v,;-usin v,;u)
e sua magnitude é lVert ru times rv rVert = uraiz2.
Passo 4
O integrando em função de u,v fica:
xy z = (ucos v)(usin v)(u) = u^3cos vsin v,
presente no integrando junto com dS = uraiz2,du,dv. Logo
integral duplaS x y z,dS = integral0^pi/2integral0^1 u^3cos vsin v ;uraiz2,du,dv = raiz2 integral0^pi/2integral0^1 u^4cos vsin v,du,dv
Passo 5
Agora integramos primeiro em u:
integral0^1 u^4,du = 15
E depois em v:
integral0^pi/2 cos vsin v,dv = 12
Combinando tudo:
integral duplaS x y z,dS = raiz2 cdot 15 cdot 12 = raiz210