Exercício 4. Calcule a integral de superfície.
integral duplaS x y z d S, onde S é o cone x=u cos v, y=u sen v e z=u, 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS x y z ,dS, onde a superfície S é o cone parametrizado por x = ucos v,;y = usin v,;z = u, com 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= pi/2. Vamos usar a teoria de integrais de superfície de campos escalares.

Passo 2

Para calcular integral duplaS f(x,y,z),dS, a gente parametra a superfície por r(u,v) e usa a fórmula
integral duplaS f(x,y,z),dS = integral!!integralD fl( r(u,v)r),llVert ru times rv rrVert,du,dv

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
r(u,v)=l(ucos v,;usin v,;ur),
ru = (cos v,;sin v,;1), rv = (-usin v,;ucos v,;0)
O produto vetorial dá
ru times rv = (-ucos v,;-usin v,;u)
e sua magnitude é lVert ru times rv rVert = uraiz2.

Passo 4

O integrando em função de u,v fica:
xy z = (ucos v)(usin v)(u) = u^3cos vsin v,
presente no integrando junto com dS = uraiz2,du,dv. Logo
integral duplaS x y z,dS = integral0^pi/2integral0^1 u^3cos vsin v ;uraiz2,du,dv = raiz2 integral0^pi/2integral0^1 u^4cos vsin v,du,dv

Passo 5

Agora integramos primeiro em u:
integral0^1 u^4,du = 15
E depois em v:
integral0^pi/2 cos vsin v,dv = 12
Combinando tudo:
integral duplaS x y z,dS = raiz2 cdot 15 cdot 12 = raiz210

Resposta

dfracraiz210

Exercícios relacionados