a) (1,0) Se z=e^x cdot tg(x y), onde x=s^2 t e y=s t^2, determine partial zpartial s e partial zpartial t através da regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
z=e^xtan(xy)
em relação a s e t, sabendo que x=s^2t e y=st^2. O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções de várias variáveis: vamos precisar de partial z/partial x, partial z/partial y e de partial x/partial s, partial x/partial t, partial y/partial s, partial y/partial t.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y:
partial zpartial x =partialpartial xl(e^xtan(xy)r) =e^xtan(xy)+e^xsec^2(xy),y
partial zpartial y =partialpartial yl(e^xtan(xy)r) =e^xsec^2(xy),x

Passo 3

Agora derivamos x=s^2t e y=st^2 em relação a s e t:
partial xpartial s=2st, partial xpartial t=s^2
partial ypartial s=t^2, partial ypartial t=2st

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para obter partial z/partial s:
partial zpartial s =partial zpartial xpartial xpartial s+partial zpartial ypartial ypartial s =l(e^xtan(xy)+e^xsec^2(xy),yr)(2st)+l(e^xsec^2(xy),xr)(t^2)
Fatorando e^x:
partial zpartial s=e^xl(2sttan(xy)+2st,ysec^2(xy)+x,t^2sec^2(xy)r)

Passo 5

Agora a regra da cadeia para partial z/partial t:
partial zpartial t =partial zpartial xpartial xpartial t+partial zpartial ypartial ypartial t =l(e^xtan(xy)+e^xsec^2(xy),yr)(s^2)+l(e^xsec^2(xy),xr)(2st)
Fatorando e^x:
partial zpartial t=e^xl(s^2tan(xy)+s^2,ysec^2(xy)+2st,xsec^2(xy)r)

Resposta

dfracpartial zpartial s=e^xl(2sttan(xy)+(2sty+xt^2)sec^2(xy)r) e dfracpartial zpartial t=e^xl(s^2tan(xy)+(s^2y+2stx)sec^2(xy)r).

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