Considere a função
f(x, y)=cc xy^2+x y, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
c) (0,5) f é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função de duas variáveis
f(x,y)= dfracxy^2+xy,&se (x,y)neq(0,0) 0,&se (x,y)=(0,0)
Queremos saber se ela é diferenciável em (0,0). Para isso, lembramos que diferenciabilidade em um ponto implica, antes de tudo, continuidade ali.

Passo 2

Para testar a continuidade em (0,0), vamos calcular o limite de f ao longo da reta y=mx. Substituindo y=mx em f(x,y) obtemos:
f(x,mx)=x(mx)^2 + x(mx)=xx^2(m^2 + m)=1x,(m^2+m)
Quando x→0, esse quociente diverge (vai para ±∞) sempre que m(m+1)≠0. Logo o limite não existe como valor finito igual a f(0,0)=0.

Passo 3

Como f não é contínua em (0,0), ela não pode ser diferenciável naquele ponto, já que diferenciabilidade exige continuidade.

Passo 4

Portanto, f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

Não. A função não é diferenciável em (0,0) porque não é contínua nesse ponto.

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