Considere a função
c)
é diferenciável em
?
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função de duas variáveis
Queremos saber se ela é diferenciável em (0,0). Para isso, lembramos que diferenciabilidade em um ponto implica, antes de tudo, continuidade ali.
Passo 2
Para testar a continuidade em (0,0), vamos calcular o limite de f ao longo da reta y=mx. Substituindo y=mx em f(x,y) obtemos:
Quando x→0, esse quociente diverge (vai para ±∞) sempre que m(m+1)≠0. Logo o limite não existe como valor finito igual a f(0,0)=0.
Passo 3
Como f não é contínua em (0,0), ela não pode ser diferenciável naquele ponto, já que diferenciabilidade exige continuidade.
Passo 4
Portanto, f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
Não. A função não é diferenciável em (0,0) porque não é contínua nesse ponto.