Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas dos exercícios 2 a 10.
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o período, a imagem e fazer o gráfico completo da função . A gente vai usar conhecimentos de funções trigonométricas, especificamente sobre a função seno. Precisamos entender como identificar o período de uma função trigonométrica, qual é o intervalo dos valores que a função pode assumir (imagem) e como esboçar o gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o período da função. O período de uma função trigonométrica é o comprimento de um ciclo completo no gráfico. A função básica tem período
. Agora, se a função fosse , o período seria
. No nosso caso, a função é , onde
. Então, o período continua sendo
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, quais são os valores mínimos e máximos que
pode assumir. A função varia entre -1 e 1. Quando multiplicamos por -2, a amplitude da função muda. Vamos calcular:
- Quando :
- Quando :
Então, a imagem da função
é o intervalo fechado entre -2 e 2, ou seja,
.
Passo 4
Por fim, vamos fazer o gráfico de um período completo da função . Já sabemos que o período é
e a imagem é
. O gráfico da função seno padrão começa no ponto (0,0), atinge o ponto máximo em
, volta a zero em
, atinge o mínimo em
e retorna a zero em
.
No nosso caso, como a função é multiplicada por -2, o gráfico estará invertido verticalmente e com amplitude dobrada. Ou seja:
- Em
: - Em
: - Em
: - Em
: - Em
:
Assim, o gráfico será uma onda seno invertida com amplitude 2, passando por esses pontos chave.
Resposta
O período da função é
, a imagem é
, e o gráfico de um período completo é uma onda seno invertida com amplitude 2, iniciando em (0,0), atingindo -2 em
, voltando a 0 em
, subindo para 2 em
e retornando a 0 em
.