Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas dos exercícios 2 a 10.
2 f: R R dada por f(x)=-2 cdot sen x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o período, a imagem e fazer o gráfico completo da função . A gente vai usar conhecimentos de funções trigonométricas, especificamente sobre a função seno. Precisamos entender como identificar o período de uma função trigonométrica, qual é o intervalo dos valores que a função pode assumir (imagem) e como esboçar o gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o período da função. O período de uma função trigonométrica é o comprimento de um ciclo completo no gráfico. A função básica tem período . Agora, se a função fosse , o período seria . No nosso caso, a função é , onde . Então, o período continua sendo .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, quais são os valores mínimos e máximos que f(x) = -2 cdot sen x pode assumir. A função varia entre -1 e 1. Quando multiplicamos por -2, a amplitude da função muda. Vamos calcular:
  • Quando :
  • Quando :
Então, a imagem da função é o intervalo fechado entre -2 e 2, ou seja, .

Passo 4

Por fim, vamos fazer o gráfico de um período completo da função . Já sabemos que o período é e a imagem é . O gráfico da função seno padrão começa no ponto (0,0), atinge o ponto máximo em , volta a zero em , atinge o mínimo em e retorna a zero em .
No nosso caso, como a função é multiplicada por -2, o gráfico estará invertido verticalmente e com amplitude dobrada. Ou seja:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :
Assim, o gráfico será uma onda seno invertida com amplitude 2, passando por esses pontos chave.

Resposta

O período da função é , a imagem é , e o gráfico de um período completo é uma onda seno invertida com amplitude 2, iniciando em (0,0), atingindo -2 em , voltando a 0 em , subindo para 2 em e retornando a 0 em .

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