Exercício 2. Calcule
integral triplaE x y d V, onde E é o sólido delimitado pelos cilíndros parabólicos y=x^2 e x=y^2 e os planos z=0 e z=x+1 ;

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral triplaE x,y ,dV
onde E é o sólido limitado pelos cilindros parabólicos y = x^2 e x = y^2 e pelos planos z=0, z = x+1.
O conteúdo que vamos usar é a projeção de E no plano xy e a passagem para integrais iteradas em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Determinar a projeção R de E no plano xy. As curvas y = x^2 e x = y^2 se intersectam se
y = x^2, x = y^2 ;Longrightarrow; x = (x^2)^2 = x^4 ;Longrightarrow; x^4 - x = 0 ;Longrightarrow; x = 0 ou x = 1
Assim R é o conjunto
R = (x,y)mid 0 <= x <= 1,;x^2<= y <= raizx

Passo 3

Escrever a integral tripla como iterada sobre R e z:
integral triplaE x,y ,dV = integralx=0^1 integraly=x^2^raizx integralz=0^x+1 x,y ,dz,dy,dx
Calculando primeiro a integral em z, obtemos
integral0^x+1 x,y ,dz = x,y,(x+1)

Passo 4

Fica então a integral dupla
integral0^1 integralx^2^raizx x,y,(x+1) ,dy,dx
Para a integral em y:
integralx^2^raizx y ,dy = 12l[(raizx)^2 - (x^2)^2r] = 12l(x - x^4r)
Logo o integrando em x é
x,(x+1),x - x^42 = 12l(x^3 + x^2 - x^6 - x^5r)

Passo 5

Agora basta calcular
12integral0^1 l(x^3 + x^2 - x^5 - x^6r),dx = 12l(14 + 13 - 16 - 17r) = 23168

Resposta

integral triplaE x,y ,dV = 23168

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