Sejam f e g duas funções definidas e deriváveis em R. Suponha que f(0)=0, g(0)=1 e que para todo x
f^prime(x)=g(x) e g^prime(x)=-f(x)
(a) Mostre que, para todo x,
[f(x)-sen x]^2+[g(x)-cos x]^2=0
(b) Conclua de (a) que f(x)=sen x e g(x)=cos x.

Passo 1

Resumindo, temos duas funções f e g definidas e deriváveis em R, com condições iniciais f(0)=0 e g(0)=1, e que satisfazem o sistema
f'(x)=g(x), g'(x)=-f(x)
A tarefa (a) pede mostrar
[f(x)-sin x]^2 + [g(x)-cos x]^2 = 0,
e depois (b) deduzir que f(x)=sin x e g(x)=cos x. Vamos usar o método da função auxiliar e unicidade de solução de EDO.

Passo 2

Definimos a função
H(x) = [f(x)-sin x]^2 + [g(x)-cos x]^2
Se conseguirmos provar que H'(x)=0 para todo x, então H é constante e, como H(0)=0, teremos H(x)=0 para todo x, o que resolve (a).

Passo 3

Calculando a derivada de H por regra da cadeia:
H'(x) =2,[f(x)-sin x]l(f'(x)-cos xr) +2,[g(x)-cos x]l(g'(x)+sin xr)
Substituindo f'(x)=g(x) e g'(x)=-f(x), obtemos
f'(x)-cos x = g(x)-cos x, g'(x)+sin x = -f(x)+sin x = -l(f(x)-sin xr)
Logo
H'(x) =2,(f-sin x)(g-cos x) +2,(g-cos x)l[-(f-sin x)r] =0

Passo 4

Como H'(x)=0, H é constante. Em x=0 temos
H(0) = [f(0)-sin0]^2 + [g(0)-cos0]^2 = [0-0]^2 + [1-1]^2 =0
Portanto H(x)equiv0, isto é,
[f(x)-sin x]^2 + [g(x)-cos x]^2 = 0 para todo x,
que prova (a).

Passo 5

Se a soma de dois quadrados é zero, cada um deve ser zero. Assim
f(x)-sin x = 0 e g(x)-cos x = 0
para todo x. Daí segue (b):
f(x)=sin x, g(x)=cos x

Resposta

(a) [f(x)-sin x]^2 + [g(x)-cos x]^2 = 0.
(b) f(x)=sin x e g(x)=cos x.

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