Sejam
e
duas funções definidas e deriváveis em
. Suponha que
e que para todo
(a) Mostre que, para todo
,
(b) Conclua de (a) que
e
.
Passo 1
Resumindo, temos duas funções
e
definidas e deriváveis em
, com condições iniciais
e
, e que satisfazem o sistema
A tarefa (a) pede mostrar
e depois (b) deduzir que
e
. Vamos usar o método da função auxiliar e unicidade de solução de EDO.
Passo 2
Definimos a função
Se conseguirmos provar que
para todo
, então
é constante e, como
, teremos
para todo
, o que resolve (a).
Passo 3
Calculando a derivada de
por regra da cadeia:
Substituindo
e
, obtemos
Logo
Passo 4
Como
,
é constante. Em
temos
Portanto
, isto é,
que prova (a).
Passo 5
Se a soma de dois quadrados é zero, cada um deve ser zero. Assim
para todo
. Daí segue (b):
Resposta
(a)
.
(b) e
.
(b)