Exercício 5: Calcule a integral
integral x e^x / 2 d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral indefinida integral x e^x/2,dx. O conteúdo envolvido é integração por partes, e vamos precisar usar a fórmula
integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para aplicar integração por partes. Definimos:
u = x e dv = e^x/2,dx.
Então
du = dx e precisamos achar v = integral e^x/2,dx.

Passo 3

Para obter v fazemos a integral:
v = integral e^x/2 ,dx
Fazendo substituição ou usando a fórmula de integral e^ax dx = tfrac1ae^ax, com a=tfrac12, temos:
v = 2e^x/2

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x e^x/2,dx = u v - integral v,du
Substituindo:
integral x e^x/2,dx = xcdot2e^x/2 - integral 2e^x/2,dx

Passo 5

Calculamos o último integral:
integral 2e^x/2 ,dx = 2 integral e^x/2 ,dx = 2l(2e^x/2r) = 4e^x/2
Logo,
integral x e^x/2,dx = 2x e^x/2 - 4e^x/2 + C

Passo 6

Podemos fatorar 2e^x/2 para deixar a expressão mais elegante:
2e^x/2(x - 2) + C

Resposta

2e^x/2(x - 2) + C

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