Exercício 8. Calcule
integralgamma(e^z+z+1) d z
onde gamma=[-1+i, 1-i].

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
integralgammal(e^z+z+1r),dz
ao longo do segmento gamma que vai de z0=-1+i até z1=1-i. Como e^z+z+1 é função inteira (analítica em todo C), podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo Complexo: basta achar uma primitiva F(z) e calcular
integralgammaf(z),dz = F(z1)-F(z0)

Passo 2

Encontramos uma primitiva de f(z)=e^z+z+1. Integramos termo a termo:
integral e^z,dz=e^z, integral z,dz=z^22, integral 1,dz=z
Logo uma primitiva conveniente é
F(z)=e^z+z^22+z

Passo 3

Calculamos F em z1=1-i. Primeiro (1-i)^2=1-2i+i^2=-2i, então
(1-i)^22=-,i
Logo
F(1-i)=e^,1-i+ l(-ir) + (1-i) = e^,1-i+1-2i

Passo 4

Calculamos F em z0=-1+i. Primeiro (-1+i)^2=1-2i+i^2=-2i, então
(-1+i)^22=-,i
E
F(-1+i)=e^-1+i+ l(-ir) +(-1+i) = e^-1+i-1

Passo 5

Pela diferença F(z1)-F(z0) vem
integralgamma(e^z+z+1),dz = l[e^,1-i+1-2ir] - l[e^-1+i-1r] = e^,1-i-e^-1+i+2-2i

Passo 6

Se quisermos a forma real e imaginária, usamos
e^,1-i=ecdot e^-i=el(cos1 - isin1r), e^-1+i=e^-1cdot e^i=e^-1l(cos1 + isin1r),
de onde
integralgamma(e^z+z+1),dz =l((e-e^-1)cos1+2r) + il(-(,e+e^-1)sin1-2r)

Resposta

integralgamma(e^z+z+1),dz = e^,1-i-e^-1+i+2-2i
ou, equivalentemente,
l((e-e^-1)cos1+2r) + il(-(,e+e^-1)sin1-2r)

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