Exercício 7. Utilizando o Teorema de Cauchy, calcule
integral|z|=1 d zz^2+2 z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral|z|=1 dzz^2+2z
usando o Teorema de Cauchy. O conteúdo envolvido é integração de funções meromorfas em contornos fechados e aplicação da fórmula de Cauchy (ou cálculo de resíduo de polo simples).

Passo 2

Fatoramos o denominador e identificamos os polos:
1z^2+2z=1z(z+2)
Os polos são z=0 e z=-2. Destes, apenas z=0 está dentro do círculo |z|=1, pois |-2|=2>1.

Passo 3

Escrevemos a integral de modo a aplicar diretamente a fórmula de Cauchy para polo simples em z=0:
integral|z|=1dzz(z+2) =integral|z|=11z,underbrace1z+2f(z),dz
Aqui f(z)=tfrac1z+2 é analítica em |z|<=1, logo
integral|z|=1f(z)z,dz=2pi i,f(0)

Passo 4

Calculamos f(0):
f(0)=10+2=12
Substituindo na fórmula de Cauchy:
integral|z|=1dzz(z+2) =2pi icdot12 =pi i

Resposta

pi i

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