Encontre o limite de cada função quando x infty e x -infty.
f(x)=2 x^5 / 3-x^1 / 3+7x^8 / 5+3 x+raizx

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyf(x) e limxto-inftyf(x)
para a função
f(x)=2x^5/3-x^1/3+7x^8/5+3x+raizx
O conteúdo principal aqui é análise de comportamento assintótico comparando as potências de x.

Passo 2

Antes de mais nada, note que o termo raizx=x^1/2 exige x>=0 para f(x) ser real. Portanto f(x) não está definida para x<0, e não faz sentido falar em limite real quando xto-infty.

Passo 3

Para xtoinfty, comparamos os maiores expoentes em numerador e denominador. O numerador é dominado por 2x^5/3 e o denominador por x^8/5. Como
53=2515 e 85=2415,
temos tfrac53>tfrac85, ou seja, x^5/3 cresce mais rápido que x^8/5. Dividindo numerador e denominador por x^8/5,
f(x) =2x^5/3-8/5-x^1/3-8/5+7x^-8/51+3x^1-8/5+x^1/2-8/5 =2x^1/15+termos menores1+termos que vão a 0 ã
Como x^1/15toinfty e o coeficiente 2>0, conclui-se
limxtoinftyf(x)=+infty

Passo 4

Para xto-infty, a presença de raizx impede que f(x) seja real, pois raizx não está definida em R para x<0. Logo não existe limite real.

Resposta

limxtoinftyf(x)=+infty,
limxto-inftyf(x) não existe em R.

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