Exercício 2. Calcule a integral dupla fazendo uma mudança de coordenadas apropriada.
\iint_{D} x^{2} d A, D=\left\{(x, y): 4 x^{2}+y^{2} \leq 1\right\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x^{2}\,dA,
onde
D=\{(x,y)\mid 4x^{2}+y^{2}\le1\}.
O conteúdo principal é mudança de variáveis para “desfazer” a elipse 4x^2+y^2=1 e transformá-la num disco unitário em coordenadas polares escalonadas. Vamos usar a fórmula do jacobiano para integrais duplas.

Passo 2

Escolhemos a transformação
x=\tfrac12\,r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta,
com r\ge0 e 0\le\theta<2\pi. Note que
4x^2+y^2 =4\bigl(\tfrac12r\cos\theta\bigr)^2 + (r\sin\theta)^2 = r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta = r^2,
logo a condição 4x^2+y^2\le1 vira 0\le r\le1.

Passo 3

Precisamos do jacobiano J(r,\theta)=\bigl|\det D(x,y)/D(r,\theta)\bigr|. Calculando:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\theta\\\ \partial y/\partial r & \partial y/\partial\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac12\cos\theta & -\tfrac12r\sin\theta\\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix},
então
J = \Bigl|\tfrac12\cos\theta\cdot r\cos\theta -(-\tfrac12r\sin\theta)\cdot\sin\theta\Bigr| = \bigl|\tfrac12r(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\bigr| = \tfrac r2.

Passo 4

Reescrevemos a integral em (r,\theta):
\iint_{D}x^2\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \Bigl(\tfrac12r\cos\theta\Bigr)^{2}\cdot \frac r2 \,dr\,d\theta.
Dentro da integral o integrando fica
\Bigl(\tfrac12r\cos\theta\Bigr)^{2}\cdot \frac r2 = \frac{r^2}{4}\cos^2\theta\;\frac r2 = \frac{r^3}{8}\cos^2\theta.

Passo 5

Separamos em parte radial e parte angular:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\frac{r^3}{8}\cos^2\theta\,dr\,d\theta = \frac1{8}\Bigl(\int_{0}^{1}r^3\,dr\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta\Bigr).
Calculamos
\int_{0}^{1}r^3\,dr = \frac{1}{4}, \quad \int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi
pois \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi.

Passo 6

Multiplicando tudo:
\frac1{8}\cdot\frac14\cdot\pi = \frac{\pi}{32}.

Resposta

\frac{\pi}{32}.

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