Calcule integral duplaD f(x, y) d A em coordenadas polares, em que D é a região de R^2 indicada em cada item.
f(x, y)=x y ; D é o disco com centro na origem e raio 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de f(x, y) = xy sobre a região D , que é um disco com centro na origem e raio 3, usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares e como transformar funções e áreas dessas coordenadas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto no plano é descrito por r (a distância da origem) e theta (o ângulo com o eixo positivo x). As relações são:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área dA em coordenadas cartesianas dx , dy se transforma em r , dr , dtheta em coordenadas polares.

Passo 3

Agora, vamos expressar a função f(x, y) = xy em coordenadas polares usando as relações que vimos:
f(r, theta) = (r cos theta)(r sin theta) = r^2 cos theta sin theta

Passo 4

Em seguida, vamos definir os limites de integração para r e theta . Como D é um disco com raio 3, r varia de 0 a 3. E theta percorre toda a volta ao redor do disco, de 0 a 2pi .

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaD f(x, y) , dA = integral0^2pi integral0^3 r^2 cos theta sin theta cdot r , dr , dtheta
Simplificando, ficamos com:
integral0^2pi cos theta sin theta integral0^3 r^3 , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^3 r^3 , dr = [ r^44 ]0^3 = 3^44 - 0 = 814

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
814 integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta

Passo 8

Observamos que cos theta sin theta é uma função ímpar em relação a theta no intervalo de 0 a 2pi , o que significa que sua integral nesse intervalo é zero:
integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta = 0

Resposta

Portanto, a integral dupla vale 0.

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