Calcule
em coordenadas polares, em que
é a região de
indicada em cada item.
é o disco com centro na origem e raio 3
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é um disco com centro na origem e raio 3, usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares e como transformar funções e áreas dessas coordenadas para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto no plano é descrito por
(a distância da origem) e
(o ângulo com o eixo positivo x). As relações são:
E o elemento de área
em coordenadas cartesianas
se transforma em
em coordenadas polares.
Passo 3
Agora, vamos expressar a função
em coordenadas polares usando as relações que vimos:
Passo 4
Em seguida, vamos definir os limites de integração para
e
. Como
é um disco com raio 3,
varia de 0 a 3. E
percorre toda a volta ao redor do disco, de 0 a
.
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Simplificando, ficamos com:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 8
Observamos que
é uma função ímpar em relação a
no intervalo de 0 a
, o que significa que sua integral nesse intervalo é zero:
Resposta
Portanto, a integral dupla vale 0.