Seja h(x, y)=raiz[3]x^2 y. Mostre que h não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função \r
;h(x,y)=raiz[3]x^2y=(x^2y)^1/3 \r
não é diferenciável no ponto (0,0). \r
Conteúdo: definimos diferenciabilidade em várias variáveis via o erro “resto” ser de ordem menor que a norma do vetor, e vamos usar um caminho que demonstre que esse resto não é pequeno o bastante.

Passo 2

Lembrando a definição, h seria diferenciável em (0,0) se existisse um mapa linear \r
;L(x,y)=a x + b y \r
tal que \r
;h(x,y)-h(0,0)-L(x,y)=ol(raizx^2+y^2r)quando (x,y)to(0,0) \r
Como h(0,0)=0, precisamos ter \r
;h(x,y)-L(x,y)=ol(raizx^2+y^2r)

Passo 3

Os candidatos naturais a a e b são as derivadas parciais em (0,0). \r
Calculando \r
\r
e \r
\r
Logo a única aproximação linear possível é \r
;L(x,y)=0

Passo 4

Para falhar a diferenciabilidade, basta achar um caminho em que \r
;h(x,y)-0raizx^2+y^2\r
não tenda a zero. Escolhemos o caminho x=y=t. Então \r
;h(t,t)=(t^2cdot t)^1/3=(t^3)^1/3=t \r
Por outro lado \r
raizt^2+t^2=raiz2,|t|, \r
então\r
\r
que para tto0 não tende a zero (tende a pm1/raiz2).

Passo 5

Como o quociente \r
;(h(x,y)-L(x,y))/raizx^2+y^2\r
não vai a zero pelo caminho x=y, o erro não é o(raizx^2+y^2). Portanto h não é diferenciável em (0,0).

Resposta

h não é diferenciável em (0,0).

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