Seja
. Mostre que
não é diferenciável em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função \r
não é diferenciável no ponto
. \r
Conteúdo: definimos diferenciabilidade em várias variáveis via o erro “resto” ser de ordem menor que a norma do vetor, e vamos usar um caminho que demonstre que esse resto não é pequeno o bastante.
Conteúdo: definimos diferenciabilidade em várias variáveis via o erro “resto” ser de ordem menor que a norma do vetor, e vamos usar um caminho que demonstre que esse resto não é pequeno o bastante.
Passo 2
Lembrando a definição,
seria diferenciável em
se existisse um mapa linear \r
tal que \r
Como
, precisamos ter \r
Passo 3
Os candidatos naturais a
e
são as derivadas parciais em
. \r
Calculando \r
Calculando \r
\r
e \r
\r
Logo a única aproximação linear possível é \r
Passo 4
Para falhar a diferenciabilidade, basta achar um caminho em que \r
não tenda a zero. Escolhemos o caminho
. Então \r
Por outro lado \r
então\r
\r
que para
não tende a zero (tende a
).
Passo 5
Como o quociente \r
não vai a zero pelo caminho
, o erro não é
. Portanto
não é diferenciável em
.