Exercício 2: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
f(x)=tan ^-1 x
lim x -infty f(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -inftyf(x)
onde
f(x)=tan^-1x
O conteúdo é limites no infinito de funções inversas trigonométricas, e vamos precisar das propriedades de continuidade, monotonia e de assíntotas horizontais de tan^-1x.

Passo 2

Lembrando que
tan^-1x (ou arctan x) é a função inversa de tan y restrita a
;yinl(-tfracpi2,tfracpi2r).
Dessa forma,
dom(arctan x)=R, im(arctan x)=l(-tfracpi2,tfracpi2r),
e arctan x é contínua e estritamente crescente em R.

Passo 3

Para encontrar
limxto -inftyarctan x
fazemos a troca y=arctan x, isto é, x=tan y. Quando xto -infty, queremos y tal que
tan y to -infty
Sabemos que tan yto -infty sempre que y se aproxima de -tfracpi2 vindO pelo lado direito de -tfracpi2. Logo,
y=arctan x xrightarrow[xto -infty] -pi2

Passo 4

Outra justificativa usa o fato de que arctan x é limitada inferiormente por -tfracpi2 e estritamente crescente. Pelo Teorema de convergência de funções monótonas, o limite à esquerda em -infty existe e é igual ao ínfimo do conjunto de valores, que é -tfracpi2.

Resposta

limxto -inftytan^-1x = -pi2

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