Exercício 2: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
O conteúdo é limites no infinito de funções inversas trigonométricas, e vamos precisar das propriedades de continuidade, monotonia e de assíntotas horizontais de .
Passo 2
Lembrando que (ou ) é a função inversa de restrita a .
Dessa forma,
e é contínua e estritamente crescente em .
Passo 3
Para encontrar
fazemos a troca , isto é, . Quando , queremos tal que
Sabemos que sempre que se aproxima de vindO pelo lado direito de . Logo,
Passo 4
Outra justificativa usa o fato de que arctan x é limitada inferiormente por -tfracpi2 e estritamente crescente. Pelo Teorema de convergência de funções monótonas, o limite à esquerda em -infty existe e é igual ao ínfimo do conjunto de valores, que é -tfracpi2.