Seja f(x, y)=x cdot e^raiz[3]x^2+y^4. A função é diferenciável em (0,0) ?
Calcule partial fpartial u(0,0) onde u=(cos theta, sen theta).

Passo 1

Beleza, temos a função
O que a gente quer é:
  1. Ver se ela é diferenciável em .
  2. Calcular a derivada direcional

    para .
O conteúdo envolvido é cálculo em várias variáveis:
  • Definição de derivadas parciais.
  • Critério de diferenciabilidade em .
  • Derivada direcional (e, de bônus, uso de gradiente).
Vamos usar limites, a expansão para , e o fato de que o resto na expansão tem que ser “pequeno” comparado à norma .

Passo 2

Calcular f(0,0) e as derivadas parciais em (0,0).
  1. Valor no ponto:
f(0,0)=0cdot e^raiz[3]0+0=0
  1. Derivada parcial em x:
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h,e^raiz[3]h^2h =limhto0e^|h|^2/3 =1
  1. Derivada parcial em y:
fy(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00cdot e^raiz[3]h^4h =0
Até aqui temos
nabla f(0,0)=(1,0).

Passo 3

Mostrar que f é diferenciável em (0,0).
Definição: f é diferenciável em (0,0) se existe o plano tangente
L(x,y)=f(0,0)+fx(0,0),x+fy(0,0),y=x
(tudo somado a zero) e o resto
r(x,y)=f(x,y)-L(x,y)
satisfaz
;r(x,y)/raizx^2+y^2to0
quando (x,y)to(0,0).
Vamos achar esse resto usando e^t=1+t+o(t) com
t=(x^2+y^4)^1/3to0. Então
f(x,y) &=x,e^(x^2+y^4)^1/3 =xl[1+(x^2+y^4)^1/3+ol((x^2+y^4)^1/3r)r] &=x+x,(x^2+y^4)^1/3+ol(x,(x^2+y^4)^1/3r)
Logo
r(x,y)=x,(x^2+y^4)^1/3+ol(x,(x^2+y^4)^1/3r)
Para (x,y) pequeno vale
|x|<=raizx^2+y^2 e (x^2+y^4)^1/3<=(x^2+y^2)^1/3,
então
|r(x,y)|=Ol(raizx^2+y^2,(x^2+y^2)^1/3r) =Ol((x^2+y^2)^5/6r)
Daí
|r(x,y)|raizx^2+y^2 =Ol((x^2+y^2)^1/3r);longrightarrow;0,
o que garante a diferenciabilidade em (0,0).

Passo 4

Calcular a derivada direcional em vec u=(costheta,sintheta).
Definição via limite:
Dvec uf(0,0) =limtto0f(tcostheta,tsintheta)-f(0,0)t
Mas, como f é diferenciável, a gente pode usar
;Dvec uf(0,0)=nabla f(0,0)cdotvec u
Já vimos que nabla f(0,0)=(1,0), logo
Dvec uf(0,0) =(1,0)cdot(costheta,sintheta) =costheta

Resposta

A função f é diferenciável em (0,0) e
partial fpartial vec u(0,0) =Dvec uf(0,0)=costheta

Exercícios relacionados