Seja
. A função é diferenciável em
?
Calcule
onde
.
Passo 1
Beleza, temos a função
O que a gente quer é:
- Ver se ela é diferenciável em
. - Calcular a derivada direcional
para.
O conteúdo envolvido é cálculo em várias variáveis:
- Definição de derivadas parciais.
- Critério de diferenciabilidade em .
- Derivada direcional (e, de bônus, uso de gradiente).
Vamos usar limites, a expansão
para
, e o fato de que o resto na expansão tem que ser “pequeno” comparado à norma
.
Passo 2
Calcular
e as derivadas parciais em
.
- Valor no ponto:
- Derivada parcial em
:
- Derivada parcial em
:
Até aqui temos
.
Passo 3
Mostrar que
é diferenciável em
.
Definição:
é diferenciável em
se existe o plano tangente
(tudo somado a zero) e o resto
satisfaz
quando .
quando
Vamos achar esse resto usando
com
. Então
Logo
Para
pequeno vale
e
,
então
então
Daí
o que garante a diferenciabilidade em
.
Passo 4
Calcular a derivada direcional em
.
Definição via limite:
Mas, como
é diferenciável, a gente pode usar
Já vimos que , logo
Já vimos que
Resposta
A função
é diferenciável em
e