Exercício 1 Calcule.
i) \lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}+t}\right)\

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando t tende a 0:
\lim_{t\to 0}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}+t}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é a diferença de duas frações: \dfrac{1}{t} e \dfrac{1}{t^{2}+t}.
  • Os denominadores são t e t^{2}+t = t(t+1).
  • O ponto onde tomamos o limite é t=0, que anula os denominadores individualmente (por isso cada termo isolado não está definido em t=0).

Passo 2

Por que não podemos simplesmente substituir t=0 diretamente?
Se fizermos isso isoladamente em cada fração teríamos \dfrac{1}{0}-\dfrac{1}{0}, que é uma forma indefinida do tipo `` \infty-\infty’’. Nessas situações a boa estratégia é juntar as frações em uma só (fazer uma manipulação algébrica válida para t\neq0) e só então tomar o limite.

Passo 3

Vamos escrever as duas frações com o mesmo denominador, que é t(t+1). Primeiro reescrever cada termo sobre esse denominador comum:
\frac{1}{t}=\frac{t+1}{t(t+1)}, \qquad \frac{1}{t^{2}+t}=\frac{1}{t(t+1)}.

Passo 4

Subtraindo as frações com o mesmo denominador:
\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}+t} = \frac{t+1}{t(t+1)}-\frac{1}{t(t+1)} = \frac{t+1-1}{t(t+1)} = \frac{t}{t(t+1)}.

Passo 5

Simplificar a fração \dfrac{t}{t(t+1)}. Para t\neq 0 é permitido cancelar t no numerador e denominador, obtendo:
\frac{t}{t(t+1)}=\frac{1}{t+1}\qquad(\text{válido para }t\neq0).á
Essa simplificação é legítima para calcular o limite em t\to0, porque o limite só requer o comportamento para valores de t próximos de 0 distintos de 0.

Passo 6

Agora calculamos o limite da função simplificada, usando que funções racionais são contínuas onde o denominador não é zero. Assim:
\lim_{t\to 0}\frac{1}{t+1}=\frac{1}{0+1}=1.
Portanto o limite procurado vale 1.

Resposta

1

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