Exercício 1 Calcule.
i)
i)
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão é a diferença de duas frações:
e . - Os denominadores são
e . - O ponto onde tomamos o limite é
, que anula os denominadores individualmente (por isso cada termo isolado não está definido em ).
Passo 2
Por que não podemos simplesmente substituir
diretamente?
Se fizermos isso isoladamente em cada fração teríamos , que é uma forma indefinida do tipo ``
’’. Nessas situações a boa estratégia é juntar as frações em uma só (fazer uma manipulação algébrica válida para
) e só então tomar o limite.
Se fizermos isso isoladamente em cada fração teríamos
Passo 3
Vamos escrever as duas frações com o mesmo denominador, que é
. Primeiro reescrever cada termo sobre esse denominador comum:
Passo 4
Subtraindo as frações com o mesmo denominador:
Passo 5
Simplificar a fração
. Para
é permitido cancelar
no numerador e denominador, obtendo:
Essa simplificação é legítima para calcular o limite em
, porque o limite só requer o comportamento para valores de
próximos de
distintos de
.
Passo 6
Agora calculamos o limite da função simplificada, usando que funções racionais são contínuas onde o denominador não é zero. Assim:
Portanto o limite procurado vale
.