Exercício 4. Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow-4} e^{\frac{2 x+8}{x^{2}+x-12}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to-4} e^{\frac{2x+8}{x^{2}+x-12}}.
Informações dadas:
  • A função dentro do limite é x\mapsto e^{\frac{2x+8}{x^{2}+x-12}}.
  • O ponto de aproximação é x=-4.
    O objetivo é calcular esse limite.

Passo 2

Primeiro vamos tentar a substituição direta para ver se obtemos um valor imediato ou uma forma indeterminada. Avaliando numerador e denominador em x=-4:
2x+8\Big|_{x=-4}=2(-4)+8= -8+8=0,
x^{2}+x-12\Big|_{x=-4}=(-4)^{2}+(-4)-12=16-4-12=0.
Obtemos a forma \tfrac{0}{0}, que é indeterminada. Então não podemos concluir o valor do limite só pela substituição.

Passo 3

Quando aparece \tfrac{0}{0} muitas vezes dá para simplificar algebricamente. Vamos fatorar numerador e denominador:
2x+8=2(x+4),
x^{2}+x-12=(x+4)(x-3).
Portanto, para x\neq-4,
\frac{2x+8}{x^{2}+x-12}=\frac{2(x+4)}{(x+4)(x-3)}=\frac{2}{x-3}.
A igualdade é válida para todo x diferente de -4 (pois aí não se divide por zero). Para o cálculo do limite x\to-4 podemos usar essa expressão simplificada, porque limite olha valores próximos de -4, não o valor exatamente em -4.

Passo 4

Agora calculamos o limite do expoente simplificado:
\lim_{x\to-4}\frac{2}{x-3}=\frac{2}{-4-3}=\frac{2}{-7}=-\frac{2}{7}.
Aqui usamos que a função racional x\mapsto \tfrac{2}{x-3} é contínua em x=-4 (o denominador em -4 é -7\neq0), então o limite é simplesmente a substituição.

Passo 5

A função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua em todo lugar. Logo, se o expoente tende a um limite L, então
\lim_{x\to-4} e^{\frac{2x+8}{x^{2}+x-12}} = e^{\lim_{x\to-4}\frac{2x+8}{x^{2}+x-12}} = e^{-\tfrac{2}{7}}.
Uma observação alternativa (só para conferir): poderia-se também aplicar a regra de L’Hôpital à forma \tfrac{0}{0}; derivando numerador e denominador obtém-se \tfrac{2}{2x+1} e avaliando em x=-4 \tfrac{2}{-7}, mesmo resultado para o expoente.

Resposta

\mathrm{e}^{-\tfrac{2}{7}}

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