A função dentro do limite é x\mapsto e^{\frac{2x+8}{x^{2}+x-12}}.
O ponto de aproximação é x=-4.
O objetivo é calcular esse limite.
Passo 2
Primeiro vamos tentar a substituição direta para ver se obtemos um valor imediato ou uma forma indeterminada. Avaliando numerador e denominador em x=-4:
A igualdade é válida para todo x diferente de -4 (pois aí não se divide por zero). Para o cálculo do limite x\to-4 podemos usar essa expressão simplificada, porque limite olha valores próximos de -4, não o valor exatamente em -4.
Passo 4
Agora calculamos o limite do expoente simplificado:
Aqui usamos que a função racional x\mapsto \tfrac{2}{x-3} é contínua em x=-4 (o denominador em -4 é -7\neq0), então o limite é simplesmente a substituição.
Passo 5
A função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua em todo lugar. Logo, se o expoente tende a um limite L, então
Uma observação alternativa (só para conferir): poderia-se também aplicar a regra de L’Hôpital à forma \tfrac{0}{0}; derivando numerador e denominador obtém-se \tfrac{2}{2x+1} e avaliando em x=-4 dá \tfrac{2}{-7}, mesmo resultado para o expoente.