Exercício 4. Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 1} e^{\cos (x-1)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a 1 da função e^{\cos(x-1)}. Ou seja, precisamos encontrar
\lim_{x\to 1} e^{\cos(x-1)}.
Informações dadas (explicitamente no enunciado):
  • A variável que varia é x.
  • O ponto de interesse é x=1.
  • A expressão é composta: primeiro aparece \cos(x-1) e depois a função exponencial e^{(\cdot)}.

Passo 2

Conceitos e resultados que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Definição informal de limite: \lim_{x\to a} f(x)=L significa que quando x fica cada vez mais próximo de a, os valores f(x) ficam cada vez mais próximos de L.
  • Continuidade numa função f num ponto a significa, por definição, que
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Se uma função é contínua em a, então para calcular \lim_{x\to a} f(x) basta avaliar f(a).
  • Propriedade de composição com continuidade: se g é contínua em L e \lim_{x\to a} f(x)=L, então
\lim_{x\to a} g(f(x)) = g\left(\lim_{x\to a} f(x)\right) = g(L).
Isto diz que podemos “passar o limite para dentro” quando a função externa é contínua no valor limite do interno.
  • Fatos sobre as funções envolvidas:
    • A função \cos(t) é contínua para todo t\in\mathbb{R}. Em particular, é contínua em t=0.
    • A função t\mapsto e^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}. Em particular, é contínua em qualquer número real.

Passo 3

Calcular o limite interno \lim_{x\to 1}\cos(x-1).
  • Observe que quando x\to 1 temos x-1\to 0.
  • Como \cos é contínua em 0, vale
\lim_{x\to 1}\cos(x-1)=\cos\big(\lim_{x\to 1}(x-1)\big)=\cos(0).
  • E \cos(0)=1. Então concluímos que
\lim_{x\to 1}\cos(x-1)=1.

Passo 4

Aplicar a continuidade da exponencial ao resultado do passo anterior (usando a propriedade de composição).
  • Defina f(x)=\cos(x-1) e g(t)=e^{t}. Já sabemos que \lim_{x\to 1} f(x)=1 (do passo 3) e que g é contínua em t=1.
  • Pela regra da composição com funções contínuas,
\lim_{x\to 1} g(f(x)) = g\left(\lim_{x\to 1} f(x)\right).
  • Portanto
\lim_{x\to 1} e^{\cos(x-1)} = e^{\; \lim_{x\to 1}\cos(x-1)} = e^{1}.

Passo 5

Comentário pedagógico curto (uma intuição extra):
  • Outra maneira de ver rapidamente: quando x está perto de 1, x-1 está perto de 0, então \cos(x-1) está perto de \cos 0=1; então e^{\cos(x-1)} está perto de e^{1}. A continuidade formaliza essa intuição.

Resposta

e

Exercícios relacionados