Exercício 4. Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da função
. Ou seja, precisamos encontrar
Informações dadas (explicitamente no enunciado):
- A variável que varia é
. - O ponto de interesse é
. - A expressão é composta: primeiro aparece
e depois a função exponencial .
Passo 2
Conceitos e resultados que vamos usar (explicados de forma didática):
- Definição informal de limite:
significa que quando fica cada vez mais próximo de , os valores ficam cada vez mais próximos de . - Continuidade numa função
num ponto significa, por definição, que
Se uma função é contínua em
, então para calcular
basta avaliar
.
- Propriedade de composição com continuidade: se
é contínua em e , então
Isto diz que podemos “passar o limite para dentro” quando a função externa é contínua no valor limite do interno.
- Fatos sobre as funções envolvidas:
- A função
é contínua para todo . Em particular, é contínua em . - A função
é contínua para todo . Em particular, é contínua em qualquer número real.
- A função
Passo 3
Calcular o limite interno
.
- Observe que quando
temos . - Como
é contínua em , vale
- E
. Então concluímos que
Passo 4
Aplicar a continuidade da exponencial ao resultado do passo anterior (usando a propriedade de composição).
- Defina
e . Já sabemos que (do passo 3) e que é contínua em . - Pela regra da composição com funções contínuas,
- Portanto
Passo 5
Comentário pedagógico curto (uma intuição extra):
- Outra maneira de ver rapidamente: quando
está perto de , está perto de , então está perto de ; então está perto de . A continuidade formaliza essa intuição.