Exercício 3 Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto dos pontos de continuidade da função
dada por
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
é . - A função logaritmo natural
só está definida para argumentos estritamente positivos, isto é, para . - Não há outras restrições escritas; portanto a continuidade deve ser verificada com base na expressão dada.
Passo 2
Vamos recordar o que significa “ser contínua num ponto” e uma regra útil de composição.
- Definição (intuição formal):
é contínua em um ponto se o limite de quando existe e é igual a . Em símbolos:
- Regra de composição (ferramenta prática): se
é contínua em e é contínua em , então a composição é contínua em .
Aqui vamos aplicar essa regra come .
Passo 3
Analisar
.
- Propriedade usada: funções polinomiais em variáveis reais são contínuas em todo
. Em particular, e são contínuas, a soma de funções contínuas é contínua. - Conclusão:
é contínua em todo . Em qualquer ponto vale
Passo 4
Analisar
.
- Propriedade usada: a função
é contínua em todo o intervalo . Multiplicar por (constante) preserva a continuidade. - Conclusão:
é contínua em todos os .
Passo 5
Aplicar a regra de composição.
- Se
satisfaz , então . Como é contínua em e é contínua em , segue que é contínua em . Portanto é contínua em todo ponto com . - No caso
temos . Mas não está definida em (pois não existe). Logo não está definida e, por isso, não pode ser contínua em .
Passo 6
Mostrar que não existe continuação contínua no ponto
(opcional mas instrutivo).
- Considere aproximações radiais: tomar
com e . Então
Quando
temos
, logo
. Assim o limite de
quando
não existe como número real (tende a
), então não há como definir um valor finito em
que torne
contínua ali.
Passo 7
Conclusão final: os pontos de continuidade são exatamente todos os pontos onde a expressão está definida e o logaritmo recebe argumento positivo, isto é, todos os
tais que
. Em notação de conjuntos: