Exercício 3 Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções dadas.
f(x, y)=5 \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto dos pontos de continuidade da função f dada por
f(x,y)=5\ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de f é 5\ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
  • A função logaritmo natural \ln só está definida para argumentos estritamente positivos, isto é, para t>0.
  • Não há outras restrições escritas; portanto a continuidade deve ser verificada com base na expressão dada.

Passo 2

Vamos recordar o que significa “ser contínua num ponto” e uma regra útil de composição.
  • Definição (intuição formal): f é contínua em um ponto (x_{0},y_{0}) se o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(x_{0},y_{0}) existe e é igual a f(x_{0},y_{0}). Em símbolos:
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})} f(x,y)=f(x_{0},y_{0}).
  • Regra de composição (ferramenta prática): se g\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} é contínua em (x_{0},y_{0}) e h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em g(x_{0},y_{0}), então a composição h\circ g é contínua em (x_{0},y_{0}).
    Aqui vamos aplicar essa regra com g(x,y)=x^{2}+y^{2} e h(t)=5\ln t.

Passo 3

Analisar g(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Propriedade usada: funções polinomiais em variáveis reais são contínuas em todo \mathbb{R}^{n}. Em particular, x\mapsto x^{2} e y\mapsto y^{2} são contínuas, a soma de funções contínuas é contínua.
  • Conclusão: g é contínua em todo \mathbb{R}^{2}. Em qualquer ponto (x_{0},y_{0}) vale
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})} \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}.

Passo 4

Analisar h(t)=5\ln t.
  • Propriedade usada: a função \ln t é contínua em todo o intervalo (0,\infty). Multiplicar por 5 (constante) preserva a continuidade.
  • Conclusão: h é contínua em todos os t>0.

Passo 5

Aplicar a regra de composição.
  • Se (x_{0},y_{0}) satisfaz x_{0}^{2}+y_{0}^{2}>0, então g(x_{0},y_{0})>0. Como g é contínua em (x_{0},y_{0}) e h é contínua em g(x_{0},y_{0}), segue que h\circ g é contínua em (x_{0},y_{0}). Portanto f é contínua em todo ponto (x_{0},y_{0}) com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}>0.
  • No caso (x_{0},y_{0})=(0,0) temos g(0,0)=0. Mas h não está definida em t=0 (pois \ln 0 não existe). Logo f(0,0) não está definida e, por isso, f não pode ser contínua em (0,0).

Passo 6

Mostrar que não existe continuação contínua no ponto (0,0) (opcional mas instrutivo).
  • Considere aproximações radiais: tomar (x,y)=(r,0) com r>0 e r\to0^{+}. Então
f(r,0)=5\ln(r^{2})=10\ln r.
Quando r\to0^{+} temos \ln r\to-\infty, logo f(r,0)\to -\infty. Assim o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe como número real (tende a -\infty), então não há como definir um valor finito em (0,0) que torne f contínua ali.

Passo 7

Conclusão final: os pontos de continuidade são exatamente todos os pontos onde a expressão está definida e o logaritmo recebe argumento positivo, isto é, todos os (x,y) tais que x^{2}+y^{2}>0. Em notação de conjuntos:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>0\}=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Resposta

\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}

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