Seja e . Seja tal que e z in R^n tal que |z-b|<s:=(1-lambda) r. Defina a função xi: Br(a) R^n por xi(x)=z-varphi(x).
i) Mostre que |xi(x)-xi(y)| <= lambda|x-y|, para todo x, y in Br(a).
ii) Mostre que |xi(a)-a| <=(1-lambda) r.
iii) Conclua que existe um ponto fixo de xi e, portanto, existe w in Br(a) tal que f(w)=z.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos ainOmega e b=f(a). Escolhemos r>0 tal que Br(a)subsetOmega e definimos a função varphi:Br(a)toR^n por varphi(x)=f(x)-x. Pela hipótese e pelo Teorema do Valor Médio, existe lambda<1 tal que