Seja a in Omega e b=f(a). Seja r>0 tal que Br(a) subset Omega e z in R^n tal que |z-b|<s:=(1-lambda) r. Defina a função xi: Br(a) R^n por xi(x)=z-varphi(x).
i) Mostre que |xi(x)-xi(y)| <= lambda|x-y|, para todo x, y in Br(a).
ii) Mostre que |xi(a)-a| <=(1-lambda) r.
iii) Conclua que existe um ponto fixo de xi e, portanto, existe w in Br(a) tal que f(w)=z.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos ainOmega e b=f(a). Escolhemos r>0 tal que Br(a)subsetOmega e definimos a função varphi:Br(a)toR^n por varphi(x)=f(x)-x. Pela hipótese e pelo Teorema do Valor Médio, existe lambda<1 tal que
|varphi(x)-varphi(y)|<=lambda|x-y| forall x,yinBr(a)
Fixamos zinR^n com |z-b|<s:=(1-lambda)r e definimos xi:Br(a)toR^n por
xi(x)=z-varphi(x)

Passo 2

Para mostrar (i), note que para quaisquer x,yinBr(a) temos
|xi(x)-xi(y)| =|,z-varphi(x)-(z-varphi(y))| =|varphi(y)-varphi(x)| <=lambda|y-x| =lambda|x-y|

Passo 3

Para mostrar (ii), calculemos
|xi(a)-a| =|z-varphi(a)-a| =|z-(f(a)-a)-a| =|z-b| <(1-lambda)r,
logo |xi(a)-a|<=(1-lambda)r.

Passo 4

Agora verificamos que xi leva Br(a) em si mesmo. De fato, para todo xinBr(a),
|xi(x)-a| <=|xi(x)-xi(a)|+|xi(a)-a| <=lambda|x-a|+(1-lambda)r <=lambda r+(1-lambda)r =r
Como xi é uma contração (Passo 2) em um espaço completo e xi(Br(a))subsetBr(a), pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach existe winBr(a) tal que xi(w)=w.
Deste ponto fixo segue
xi(w)=w ;Longrightarrow; z-varphi(w)=w ;Longrightarrow; f(w)=w+varphi(w)=z

Resposta

Existe winBr(a) tal que f(w)=z.

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